七角形

七角形（しちかくけい、しちかっけい、ななかくけい、ななかっけい、英語: heptagon, septagon）とは、7個の頂点と7本の辺により構成される多角形の総称。

正方形に最大サイズで収まる赤い正七角形

正七角形

正七角形の作図。

正七角形

正七角形（せい - 、英: regular heptagon）とは、各辺の長さが等しく、全ての内角の大きさも等しい七角形を指す。その一つの内角は5π/7ラジアン（128と4/7度）で、一つの外角および中心角は2π/7ラジアン（51と3/7度）である。一辺の長さをaとすると周長は7aであり、面積Aは以下のように表される。

${\displaystyle A={\frac {7}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{7}},}$ 

${\displaystyle A={\frac {7}{4}}a^{2}\tan {\frac {5\pi }{14}},}$ 

${\displaystyle A={\frac {7}{12}}a^{2}\left({\sqrt {7}}+4\cos \left({\frac {\arctan {3{\sqrt {3}}}}{3}}\right)\right),}$ 

${\displaystyle A\simeq 3.63391a^{2}.}$ 

${\displaystyle A={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {{\frac {7}{3}}(35+2{\sqrt[{3}]{14^{2}(13-3{\sqrt {-3}})}}+2{\sqrt[{3}]{14^{2}(13+3{\sqrt {-3}})}})}}}$ 

ただしarctan関数の値域は ${\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}},+{\frac {\pi }{2}}\right)}$  にとる。

中心から頂点までの距離は、外接円の半径Rに等しく

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}a{\frac {1}{\sin {\frac {\pi }{7}}}}}$ 

である。中心から辺までの最短距離は、内接円の半径rに等しく

${\displaystyle r={\frac {1}{2}}a\cot {\frac {\pi }{7}}}$ 

である。

正七角形には、全部で14本の対角線を引くことができるが、対角線の長さは2種類しかない。すなわち、2つ隣の頂点を結ぶ短い対角線bと、3つ隣の頂点を結ぶ長い対角線cである。7本の対角線bからなる図形と、7本の対角線cからなる図形は、どちらも七芒星と呼ばれるが、日本では前者の意匠は特に茅の輪（ちのわ）と呼ばれることがある。^[要出典]

上記の3つの長さについて成り立つ等式

${\displaystyle a=2R\sin {\frac {\pi }{7}},~b=2R\sin {\frac {2\pi }{7}},~c=2R\sin {\frac {3\pi }{7}},}$ 

${\displaystyle {\frac {1}{a}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}}$ 

が知られている。これに関連して次も成り立つ。

${\displaystyle {\frac {1}{\sin {\frac {\pi }{7}}}}={\frac {1}{\sin {\frac {2\pi }{7}}}}+{\frac {1}{\sin {\frac {3\pi }{7}}}}}$ 

正七角形の作図

正七角形をコンパスと定規（長さの計測が不可能なもの）のみによって作図することは不可能であることが証明されている^[1]。

しかし7はピアポン素数であるから、角の三等分を遂行する能力をもつ道具である印付き定規（長さの計測が可能なもの）を用いたり、あるいは折り紙を用いたりすれば作図可能であることもまた証明されている^[2]。

紀元前にアルキメデス（前287～前212）はその著書『円に含まれる七角形について』（英題: On the Heptagon in the Circle）において円錐曲線の交わりを使って正七角形を作図していたとみられるが、この本は現存しない。サービト・イブン・クッラ（826～901）などのイスラムの数学者が、アルキメデスの本に言及して、正七角形を作図しているという^[2]。

また複素数を経由するが、整数から加減乗除と平方根と立方根のみによって

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{7}}={\frac {1}{6}}\left({\sqrt {7}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {1+3{\sqrt {3}}\cdot i}{2{\sqrt {7}}}}}+{\sqrt {7}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {1-3{\sqrt {3}}\cdot i}{2{\sqrt {7}}}}}-1\right)}$ 

と表すことができる（一意に定まらない複素数の立方根のうちどれを採るかには注意せねばならないが）ことも作図可能性の証拠となる。なお、加減乗除と実冪根のみではこういった表示はできない。

その他、より汎用的な(ヒッピアスの円積曲線)（英語版）の利用や角の七等分器を製作することによっても作図できる。

折り紙により正七角形が作図できる^[3]。

ネウシス作図（スライドと同時に回転が可能な目盛り付きの定規を用いる作図）により正七角形が作図できる。

 

目盛り付き定規を用いたネウシス作図

その他の事物

2011年現在、イギリスでは正七角形をした2種類（(50ペンス)（英語版）と(20ペンス)（英語版））の硬貨が流通している。ただし、これらの硬貨の辺は曲線的であり、厳密には七角形ではなく、ルーローの七角形である。また、ユーロ貨幣の20セント硬貨は円形であるが、正七角形の頂点に当たる部分に7つの溝を持つ。

2011年12月、タイで国王ラーマ9世の誕生日を祝い、世界初の七角形の切手が発売された^[4]。

脚注

[脚注の使い方]

1. ^ このことを、内角あるいは中心角が整数度にならないことと結び付けるのは、初学者にありがちな誤解である。
2. ^ ^{a b} デイヴィッド・A.コックス、梶原健（訳）、2008-2010、『ガロワ理論』下、日本評論社 ISBN (978-4-535-78455-0) の「第10章 作図」
3. ^ 正七角形が折り紙で"作図"できる理由【数学 解説 / #豊穣ミノリ / VTuber】
4. ^ タイで七角形の切手発売（バンコク経済新聞）

関連項目

外部リンク

 

ウィキメディア・コモンズには、七角形に関連するカテゴリがあります。

• Weisstein, Eric W. "Heptagon". MathWorld (英語).