一様可積分性

一様可積分性（いちようかせきぶんせい、英: uniform integrability）とは、数学の実解析、関数解析学および測度論の分野における重要な概念で、ルベーグ可積分性の概念を拡張し、条件付き期待値やマルチンゲールの理論の発展のために重要な役割を担うものである。確率変数の収束において、この性質は、確率の意味において収束する確率変数が ${\displaystyle \mathbb {L} ^{p}}$ の意味において収束するための必要十分条件を与える。

形式的定義

次の定義が適用される^[1]。

• 確率変数のクラス ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  が一様可積分であるとは、${\displaystyle \epsilon >0}$  が与えられた時、${\displaystyle E(|X|I_{|X|\geq K})\leq \epsilon }$  がすべての ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$  に対して成立するような ${\displaystyle K\in [0,\infty )}$  が存在することを言う。ただし ${\displaystyle I_{|X|\geq K}}$  は指示関数
  $${\displaystyle I_{|X|\geq K}={\begin{cases}1&{\text{if }}|X|\geq K,\\0&{\text{if }}|X|<K\end{cases}}}$$

   
  である。

• 二箇条を必要とするような、別の定義は次のようなものである: 確率変数のクラス ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  が一様可積分であるとは、
  • ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  に含まれるすべての ${\displaystyle X}$  に対して、${\displaystyle \mathrm {E} (|X|)\leqslant K}$  となるような有限の ${\displaystyle K}$  が存在する。
  • すべての ${\displaystyle \epsilon >0}$  に対してある ${\displaystyle \delta >0}$  が存在し、${\displaystyle \mathrm {P} (A)\leqslant \delta }$  となるようなすべての可測な ${\displaystyle A}$  および、すべての ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$  に対して、${\displaystyle \mathrm {E} (|X|:A)\leqslant \epsilon }$  が成立する。

の二つが成立することを言う。

関連する系

次のような結果がある。

• 上の一つ目の定義は、次のような極限を用いることで書き換えられる:

${\displaystyle \lim _{K\to \infty }\sup _{X\in {\mathcal {C}}}E(|X|||X|\geq K)=0.}$ 

• 確率変数 ${\displaystyle X_{n},\ n=1,2,\ldots }$  の列を考える。
  $${\displaystyle X_{n}(\omega )=n,\ \forall \omega \in \left(0,{\frac {1}{n}}\right),\ X_{n}(\omega )=0{\text{ otherwise}}}$$

   
  と定義する。すべての n に対して ${\displaystyle E(|X_{n}|)=1}$  であるため、明らかに ${\displaystyle X_{n}\in \mathbb {L} ^{1}}$  である。しかし、上の一つ目の定義に従えば
  $${\displaystyle E(|X_{n}|,|X_{n}|\geq K)=1\ \forall n\geq K}$$

   
  であることから、この数列は一様可積分ではない。すなわち、ルベーグ可積分ではあるが、一様可積分ではない。
   

  一様可積分でない確率変数列の例。図の黒帯（strip）の部分は、${\displaystyle X_{n}\to 0}$  としても ${\displaystyle \infty }$  へと向かう。
• 上の二つ目の定義によれば、${\displaystyle X_{n}}$  が有界でないときにはその第一箇条目は成立しないことが分かる。もし ${\displaystyle X}$  が一様可積分な確率変数であれば、
  $${\displaystyle E(|X|)=E(|X|,|X|>K)+E(|X|,|X|<K)}$$

   
  と区分し、それぞれを上から抑えることにより、その確率変数は ${\displaystyle \mathbb {L} ^{1}}$  に含まれることが分かる。また、任意の ${\displaystyle \mathbb {L} ^{1}}$  確率変数は、上の二つ目の定義の第二箇条目を満たすことが分かる。
• 確率変数 ${\displaystyle X_{n}}$  のどのような列も、ある可積分な非負の ${\displaystyle Y}$  によって支配されているなら、すなわち、任意の ω と n に対して、
  $${\displaystyle \ |X_{n}(\omega )|\leq |Y(\omega )|,\ Y(\omega )\geq 0,\ E(Y)<\infty }$$

   
  が成立しているなら、確率変数 ${\displaystyle \{X_{n}\}}$  のクラス ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  は一様可積分である。
• ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$  (${\displaystyle p>1}$ ) において有界な確率変数のクラスは、一様可積分である。

関連する定理

• (ダンフォード)（英語版）–(ペティス)（英語版）の定理^[2]

確率変数 ${\displaystyle X_{n}\subset L^{1}(\mu )}$  のクラスが一様可積分であるための必要十分条件は、それが弱位相において(相対コンパクト)（英語版）であることである。

• (ド・ラ・バレ・プーサン)（英語版）の定理^[3]

族 ${\displaystyle \{X_{\alpha }\}_{\alpha \in \mathrm {A} }}$  が一様可積分であるための必要十分条件は、ある非負の増加凸関数 ${\displaystyle G(t)}$  で

$${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {G(t)}{t}}=\infty }$$

 

および ${\displaystyle \sup _{\alpha }E(G(|X_{\alpha }|))<\infty }$  を満たすようなものが存在することである。

確率変数の収束との関係

詳細は「確率変数の収束」を参照

• 数列 ${\displaystyle \{X_{n}\}}$  が ${\displaystyle L_{1}}$  ノルムにおいて ${\displaystyle X}$  へと収束するための必要十分条件は、それが ${\displaystyle X}$  へと測度収束し、かつ一様可積分であることである。
• 確率の意味において収束する確率変数列が、期待値の意味においても収束するための必要十分条件は、それが一様可積分であることである。

脚注

[脚注の使い方]

1. ^ Williams, David (1997). Probability with Martingales (Repr. ed.). Cambridge: Cambridge Univ. Press.. pp. 126-132. ISBN (978-0-521-40605-5). http://www.amazon.com/Probability-Martingales-Cambridge-Mathematical-Textbooks/dp/0521406056 
2. ^ (Dellacherie, C. and Meyer, P.A.) (1978). Probabilities and Potential, North-Holland Pub. Co, N. Y. (Theorem T25).
3. ^ (Meyer, P.A.)（英語版） (1966). Probability and Potentials, Blaisdell Publishing Co, N. Y. (p.19, Theorem T22).

参考文献

• A.N. Shiryaev (1995). Probability (2 ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 187–188. ISBN (978-0-387-94549-1) 
• Walter Rudin (1987). Real and Complex Analysis (3 ed.). Singapore: McGraw–Hill Book Co.. p. 133. ISBN (0-07-054234-1) 
• J. Diestel and J. Uhl (1977). Vector measures, Mathematical Surveys 15, American Mathematical Society, Providence, RI (ISBN 978-0-8218-1515-1)