数学 の、線形代数 や作用素論 の分野における、ある線形作用素 のレゾルベント集合 (レゾルベントしゅうごう、英 : resolvent set )とは、その作用素がある意味で(行儀の良い )(英語版) ものとなるための複素数 からなる集合である。レゾルベント法 において重要な役割を担う。
定義 X をバナッハ空間 とし、 L : D ( L ) → X {\displaystyle L\colon D(L)\rightarrow X} を、定義域 が D ( L ) ⊆ X {\displaystyle D(L)\subseteq X} であるような線形作用素とする。X 上の恒等作用素 を id と表す。任意の λ ∈ C {\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} } に対し
L λ = L − λ i d {\displaystyle L_{\lambda }=L-\lambda \mathrm {id} } を定める。作用素 L λ {\displaystyle L_{\lambda }} の逆作用素 R ( λ , L ) {\displaystyle R(\lambda ,L)} が、次の三つの条件を満たすとき、 λ {\displaystyle \lambda } は正則値 (regular value)と呼ばれる:
そのような逆 R ( λ , L ) {\displaystyle R(\lambda ,L)} が存在する; そのような逆 R ( λ , L ) {\displaystyle R(\lambda ,L)} は有界線形作用素 である; そのような逆 R ( λ , L ) {\displaystyle R(\lambda ,L)} は、X において稠密 な部分空間の上で定義される。 作用素 L のレゾルベント集合 とは、L のすべての正則値からなる集合
ρ ( L ) = { λ ∈ C | {\displaystyle \rho (L)=\{\lambda \in \mathbf {C} |} λ {\displaystyle \lambda } は L {\displaystyle L} の正則値 } {\displaystyle \}} である。スペクトル とは、レゾルベント集合の補集合
σ ( L ) = C ∖ ρ ( L ) . {\displaystyle \sigma (L)=\mathbf {C} \setminus \rho (L).} である。スペクトルはさらに、点スペクトル(上の条件 1 が満たされない場合)、連続スペクトル(上の条件 1 と 3 は満たされるが、2 が満たされない場合)および剰余スペクトル(上の条件 1 は満たされるが、3 は満たされない場合)の三種類に区分される。
性質 有界線形作用素 L のレゾルベント集合 ρ ( L ) ⊆ C {\displaystyle \rho (L)\subseteq \mathbb {C} } は開集合 である。
参考文献 Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). An introduction to partial differential equations . Texts in Applied Mathematics 13 (Second ed.). Springer-Verlag. xiv+434. ISBN (0-387-00444-0 ) MR 2028503 (See section 8.3)
外部リンク Voitsekhovskii, M.I. (2001), "Resolvent set", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics , Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 。 ウィキペディア、ウィキ、本、library、論文、読んだ、ダウンロード、自由、無料ダウンロード、mp3、video、mp4、3gp、 jpg、jpeg、gif、png、画像、音楽、歌、映画、本、ゲーム、ゲーム。