数学 において、ルジャンドルのカイ関数 (Legendre chi function )とは、テイラー展開 が以下により与えられた、ディリクレ級数 でもある特殊関数 である。
χ ν ( z ) = ∑ k = 0 ∞ z 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ν . {\displaystyle \chi _{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{\nu }}}.} 上の式は多重対数関数 のディリクレ級数と似ている。事実、以下のような多重対数関数を用いた表現が可能である。
χ ν ( z ) = 1 2 [ Li ν ( z ) − Li ν ( − z ) ] . {\displaystyle \chi _{\nu }(z)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{\nu }(z)-\operatorname {Li} _{\nu }(-z)\right].} フルヴィッツのゼータ関数 ζ ( s , q ) {\displaystyle \zeta (s,q)} の変数sでの離散フーリエ変換 は、ルジャンドルのカイ関数である。
ルジャンドルカイ関数は、(レルヒのゼータ関数 )(英語版) の特殊なケースである。そのため、次の式でも与えられる。
χ ν ( z ) = 2 − ν z Φ ( z 2 , ν , 1 / 2 ) . {\displaystyle \chi _{\nu }(z)=2^{-\nu }z\,\Phi (z^{2},\nu ,1/2).\,}
恒等式 χ 2 ( x ) + χ 2 ( 1 / x ) = π 2 4 − i π 2 | ln x | ( x > 0 ) . {\displaystyle \chi _{2}(x)+\chi _{2}(1/x)={\frac {\pi ^{2}}{4}}-{\frac {i\pi }{2}}|\ln x|\qquad (x>0).} d d x χ 2 ( x ) = a r c t a n h x x . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\chi _{2}(x)={\frac {{\rm {arctanh\,}}x}{x}}.}
関係する積分 ∫ 0 π / 2 arcsin ( r sin θ ) d θ = χ 2 ( r ) {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\arcsin(r\sin \theta )d\theta =\chi _{2}\left(r\right)} ∫ 0 π / 2 arctan ( r sin θ ) d θ = − 1 2 ∫ 0 π r θ cos θ 1 + r 2 sin 2 θ d θ = 2 χ 2 ( 1 + r 2 − 1 r ) {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\arctan(r\sin \theta )d\theta =-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{\frac {r\theta \cos \theta }{1+r^{2}\sin ^{2}\theta }}d\theta =2\chi _{2}\left({\frac {{\sqrt {1+r^{2}}}-1}{r}}\right)} ∫ 0 π / 2 arctan ( p sin θ ) arctan ( q sin θ ) d θ = π χ 2 ( 1 + p 2 − 1 p ⋅ 1 + q 2 − 1 q ) {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\arctan(p\sin \theta )\arctan(q\sin \theta )d\theta =\pi \chi _{2}\left({\frac {{\sqrt {1+p^{2}}}-1}{p}}\cdot {\frac {{\sqrt {1+q^{2}}}-1}{q}}\right)} ∫ 0 α ∫ 0 β d x d y 1 − x 2 y 2 = χ 2 ( α β ) i f | α β | ≤ 1 {\displaystyle \int _{0}^{\alpha }\int _{0}^{\beta }{\frac {dxdy}{1-x^{2}y^{2}}}=\chi _{2}(\alpha \beta )\qquad {\rm {if}}~~|\alpha \beta |\leq 1}
参考文献 Weisstein, Eric W . "Legendre's Chi Function ". MathWorld (英語). Djurdje Cvijović and Jacek Klinowski, "Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments", Mathematics of Computation 68 (1999), 1623-1630. Djurdje Cvijović (2006年). “Integral representations of the Legendre chi function”. Elsevier. 2006年12月15日 閲覧。 Mathematics Stack Exchange ウィキペディア、ウィキ、本、library、論文、読んだ、ダウンロード、自由、無料ダウンロード、mp3、video、mp4、3gp、 jpg、jpeg、gif、png、画像、音楽、歌、映画、本、ゲーム、ゲーム。