リーマン和

リーマン和（リーマンわ、英語: Riemann sum）とは、 実数区間 ${\displaystyle I=[a,b]}$ 上で、 ${\displaystyle a=x_{0},x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}=b}$ なる数列があるとし、 代表点 ${\displaystyle \xi _{k}(x_{k-1}\leq \xi _{k}\leq x_{k},k=1,2,3,\dots ,n)}$ と数列の有限差分 ${\displaystyle \Delta x_{k}:=x_{k}-x_{k-1}}$ が ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Delta x_{k}=0}$を満たし、 区間 ${\displaystyle I=[a,b]}$ 上で定義された実数値連続函数 ${\displaystyle f}$ があるとき、

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(\xi _{k})\Delta x_{k}}$

のことである。

この ${\displaystyle n\to \infty }$ での極限が、リーマン積分

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}f(\xi _{k})\Delta x_{k}}$

である^[1]。 ニュートンとライプニッツがそれぞれ別々に、微分と積分の逆演算性を発見した。 しかし、 コーシーよりも前の積分は、微分の定義に依存したニュートン・ライプニッツ以来の逆微分であり、微分と独立に定義されたものではなかった ^[2][3]。 "Euler は積分を微分の逆演算として定義しているが，Cauchy は定積分をまず定義した後， ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(s)ds=f(x)}$ を定理として導いた．こうした発想の逆転も Cauchy に負う．^[4]" リーマン和はコーシーの左和 ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}f(x_{k})\Delta x_{k+1}}$ と右和 ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(x_{k})\Delta x_{k}}$ を源流とする^[5]。 これによって、微分の存在とは無関係に積分が定義できるようになった。

• 左和

• 右和

• 中点和

${\displaystyle 0\leq x\leq 2}$における ${\displaystyle y=x^{2}}$ の右和

リーマン和の具体例

被積分函数が単項式のとき

例えば、${\displaystyle [1,2]}$  で ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$  のとき

等差数列

等差数列 ${\displaystyle x_{k}=1+{\frac {k}{n}}\;(k=0,1,2,\dots ,n)}$  をとると、 左和と右和は、それぞれ、

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left(1+{\frac {k}{n}}\right)^{2}{\frac {1}{n}}={\frac {7}{3}}-{\frac {3}{2n}}+{\frac {1}{6n^{2}}}}$ 

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\left(1+{\frac {k}{n}}\right)^{2}{\frac {1}{n}}={\frac {7}{3}}+{\frac {3}{2n}}+{\frac {1}{6n^{2}}}}$ 

となる^[6]。

等比数列

等比数列 ${\displaystyle x_{k}=2^{\frac {k}{n}}\;(k=0,1,2,\dots ,n)}$  をとると、 左和と右和は、それぞれ、

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left(2^{\frac {k}{n}}\right)^{2}\,(2^{\frac {k+1}{n}}-2^{\frac {k}{n}})={\frac {7}{2^{\frac {2}{n}}+2^{\frac {1}{n}}+1}}}$ 

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\left(2^{\frac {k}{n}}\right)^{2}\,(2^{\frac {k}{n}}-2^{\frac {k-1}{n}})={\frac {7}{2^{-{\frac {2}{n}}}+2^{-{\frac {1}{n}}}+1}}}$ 

となる。

等差数列か等比数列か、左和か右和かに関係なく、 ${\displaystyle n\to \infty }$  での極限ではいずれも。

${\displaystyle \int _{1}^{2}x^{2}dx={\frac {7}{3}}}$ 

積分の結果が対数となるとき

${\displaystyle [1,2]}$  で ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$  のとき

等比数列 ${\displaystyle x_{k}=2^{\frac {k}{n}}\;(k=0,1,2,\dots ,n)}$  をとると、 左和と右和は、それぞれ、

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{2^{\frac {k}{n}}}}\,(2^{\frac {k+1}{n}}-2^{\frac {k}{n}})=n\left(2^{\frac {1}{n}}-1\right)}$ 

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2^{\frac {k}{n}}}}\,(2^{\frac {k}{n}}-2^{\frac {k-1}{n}})=n\left(1-2^{-{\frac {1}{n}}}\right)}$ 

となる^[7]が、 ${\displaystyle n\to \infty }$  での極限をとると、

${\displaystyle \int _{1}^{2}{\frac {1}{x}}dx=\lim _{n\to \infty }n\left(2^{\frac {1}{n}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left(1-2^{-{\frac {1}{n}}}\right)}$ 

となる。 他方、 逆微分より

${\displaystyle \int _{1}^{2}{\frac {1}{x}}dx=\ln 2}$ 

であるから、

${\displaystyle \ln 2=\lim _{n\to \infty }n\left(2^{\frac {1}{n}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left(1-2^{-{\frac {1}{n}}}\right)}$ 

が得られる。

参考文献

1. ^ 『リーマン論文集』足立恒雄・杉浦光夫・長岡亮介編訳
2. ^ 二キフォロスキー著、馬場良和訳『積分の歴史 - アルキメデスからコーシー, リーマンまで -』現代数学社, 1993, pp.190 - 191
3. ^ 安部齊『微積分の歩んだ道』森北出版, 1989, pp.194 - 195
4. ^ 岩波『数学辞典』第四版, p.106
5. ^ コーシー『微分積分学概要』小堀憲訳・解説
6. ^ 遠山啓『微分と積分 - その思想と方法 -』日本評論社, 1970, pp.180 - pp.181
7. ^ 遠山啓『微分と積分 - その思想と方法 -』日本評論社, 1970, pp.182 - pp.183