行列 を の対称行列とする。 これが直交行列 によって三重対角行列 に直交変換されたとする。
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ここで、 が対称であるから も対称である。 そこで、三重対角化された行列 の成分を次のようにおくことにする。
一方、直交行列 の第 列のベクトルを とすると、 の直交性から
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が成立する。 また上記の直交変換はつぎのように書くことができる。
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ランチョス法とは、この関係から直接変換行列 すなわちベクトル を定めながら、それと同時に三重対角化を行っていく方法である。
上の等式で とおき、 行列 の成分を代入して両辺の各列を比較すると、次式が得られる。
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第 行目の式に左から を乗じると、直交性より以下のように が求められる。
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また、 がすでに求められているとすると、 はつぎのように計算することができる。 まず を
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によって求める。つぎに の正規化条件 を満足させるために を
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と定める。そして、
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とすればよい。
このようにして、 なる任意の初期ベクトル からはじめて順次 を計算することにより三重対角行列 を求めることができる。