定理の内容 S を測度空間 、1 ≦ p ≦ ∞ を任意の実数、f と g を Lp (S ) の要素すなわち p 乗可積分関数とする。このとき f + g も Lp (S ) に含まれ、
‖ f + g ‖ p ≤ ‖ f ‖ p + ‖ g ‖ p {\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}} が成立する。 1 < p < ∞ における等号成立の必要十分条件は、f と g が正の線形従属 であること、すなわち、ある c ≧ 0 が存在して f = c ・g もしくは g = c ・f と書けることである。これらの事実から、ミンコフスキーの不等式とはL p (S )に対する三角不等式 の一般化と言える。
ヘルダーの不等式 と同様、ミンコフスキーの不等式も数え上げ測度 によって有限次元ベクトル空間 における特別な場合を考えることができる:
( ∑ k = 1 n | x k + y k | p ) 1 / p ≤ ( ∑ k = 1 n | x k | p ) 1 / p + ( ∑ k = 1 n | y k | p ) 1 / p {\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p}} ここで x 1 , …, xn , y 1 , …, yn は任意の実数 または複素数 であり、n はベクトル空間の次元 である。
証明 最初に、補題「f と g の p 乗ノルムが共に有限ならば f + g もそうである」を示さなければならない。まず h (x ) = xp (p > 1) が正の実数の集合R + における凸関数 であることから、正の a , b に対し
( a + b 2 ) p ≤ a p + b p 2 {\displaystyle \left({\frac {a+b}{2}}\right)^{p}\leq {\frac {a^{p}+b^{p}}{2}}} が従う。これを 2p 倍して (a + b )p ≦ 2p −1 ap + 2p −1bp を得るが、これは先の補題の成立を示す。
こうして ‖ f + g ‖ p {\displaystyle \|f+g\|_{p}} というものが意味を持つようになった。もしそれが零 ならば不等式は自明に成り立つので、非零の場合を考える。まず
‖ f + g ‖ p p = ∫ | f + g | p d μ {\displaystyle \|f+g\|_{p}^{p}=\int |f+g|^{p}\,\mathrm {d} \mu } ≤ ∫ ( | f | + | g | ) | f + g | p − 1 d μ {\displaystyle \leq \int (|f|+|g|)|f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu } = ∫ | f | | f + g | p − 1 d μ + ∫ | g | | f + g | p − 1 d μ ⋯ ( ∗ ) {\displaystyle =\int |f||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu +\int |g||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \cdots (*)} であり、ここでヘルダーの不等式 を使うと
( ∗ ) ≤ ( ( ∫ | f | p d μ ) 1 / p + ( ∫ | g | p d μ ) 1 / p ) ( ∫ | f + g | ( p − 1 ) ( p p − 1 ) d μ ) 1 − 1 p {\displaystyle (*)\leq \left(\left(\int |f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}+\left(\int |g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}\right)\left(\int |f+g|^{(p-1)\left({\frac {p}{p-1}}\right)}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1-{\frac {1}{p}}}} = ( ‖ f ‖ p + ‖ g ‖ p ) ‖ f + g ‖ p p ‖ f + g ‖ p {\displaystyle =(\|f\|_{p}+\|g\|_{p}){\frac {\|f+g\|_{p}^{p}}{\|f+g\|_{p}}}} となる。こうしてミンコフスキーの不等式(の定数倍)が得られた。
ミンコフスキーの積分不等式 ( S 1 , μ 1 ) {\displaystyle (S_{1},\mu _{1})} , ( S 2 , μ 2 ) {\displaystyle (S_{2},\mu _{2})} はσ -有限な測度空間で、関数 F : S 1 × S 2 → R {\displaystyle F:S_{1}\times S_{2}\rightarrow \mathbb {R} } は可測とする。 F ≥ 0 {\displaystyle F\geq 0} かつ 1 ≤ p < ∞ {\displaystyle 1\leq p<\infty } ならば次が成り立つ[1] :
[ ∫ S 1 ( ∫ S 2 F ( x , y ) μ 2 ( y ) ) p μ 1 ( x ) ] 1 p ≤ ∫ S 2 [ ∫ S 1 F ( x , y ) p μ 1 ( x ) ] 1 p μ 2 ( y ) {\displaystyle \left[\int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}F(x,y)\,\mu _{2}(y)\right)^{p}\mu _{1}(x)\right]^{\frac {1}{p}}\leq \int _{S_{2}}\left[\int _{S_{1}}F(x,y)^{p}\,\mu _{1}(x)\right]^{\frac {1}{p}}\mu _{2}(y)} 1 ≤ p ≤ ∞ {\displaystyle 1\leq p\leq \infty } であって、ほとんど全ての y ∈ S 2 {\displaystyle y\in S_{2}} に対して F ( ⋅ , y ) ∈ L p ( S 1 ) {\displaystyle F(\cdot ,y)\in L^{p}(S_{1})} 、かつ関数 y ↦ ‖ F ( ⋅ , y ) ‖ p {\displaystyle y\mapsto \|F(\cdot ,y)\|_{p}} は L 1 ( S 2 ) {\displaystyle L^{1}(S_{2})} に属するならば、ほとんど全ての x ∈ S 1 {\displaystyle x\in S_{1}} に対して F ( x , ⋅ ) ∈ L 1 ( S 2 ) {\displaystyle F(x,\cdot )\in L^{1}(S_{2})} 、かつ関数 x ↦ ∫ F ( x , y ) d μ 2 ( y ) {\displaystyle x\mapsto \int F(x,y)d\mu _{2}(y)} は L p ( S 1 ) {\displaystyle L^{p}(S_{1})} であって、次の不等式が成り立つ[1] :
‖ ∫ S 2 F ( ⋅ , y ) d μ 2 ( y ) ‖ p ≤ ∫ S 2 ‖ F ( ⋅ , y ) ‖ p d μ 2 ( y ) {\displaystyle \left\|\int _{S_{2}}F(\cdot ,y)d\mu _{2}(y)\right\|_{p}\leq \int _{S_{2}}\left\|F(\cdot ,y)\right\|_{p}d\mu _{2}(y)}
脚注 ^ a b Gerald B. Folland (1999). Real Analysis . Wiley. p. 194
参考文献 Hardy, G. H. and Littlewood, J. E. and Pólya, G. (1988). Inequalities . Cambridge Mathematical Library (Reprint of the 1952 edition ed.). Cambridge: Cambridge University Press. pp. xii+324. ISBN (0-521-35880-9 ) (邦訳 G. H. ハーディ、J. E. リトルウッド、G. ポーヤ『不等式』シュプリンガー・ジャパン〈シュプリンガー数学クラシックス〉、2003年。ISBN (978-4431710561 )。 ) H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Chelsea, reprint (1953) Voitsekhovskii, M.I. (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics , Kluwer Academic Publishers, (ISBN 978-1556080104 )
関連項目
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