ポアンカレ群

ポアンカレ群（ポアンカレぐん、英語: Poincaré group）とは、ポアンカレ変換の為す変換群。10次元の非コンパクトリー群である。

ポアンカレ変換

ポアンカレ変換とは、ミンコフスキー空間における等長変換である。 等長変換においては内積が保存される。

ポアンカレ変換は並進とローレンツ変換からなる。

座標変換

ミンコフスキー空間の座標 x に対する並進とローレンツ変換は以下のようになる。

並進

${\displaystyle x^{\mu }\to x'^{\mu }=x^{\mu }+a^{\mu }}$ 

ローレンツ変換

${\displaystyle x^{\mu }\to x'^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }x^{\nu }}$ 

ここで、a, Λ は変換のパラメータである。

生成子

並進の(生成子) P は運動量、ローレンツ変換の生成子 M は角運動量である。 ミンコフスキー空間上の関数（スカラー場）φ(x) を考えると

${\displaystyle i[P_{\mu },\phi (x)]=\partial _{\mu }\phi (x)}$ 

${\displaystyle i[M_{\mu \nu },\phi (x)]=x_{\mu }\partial _{\nu }\phi (x)-x_{\nu }\partial _{\mu }\phi (x)}$ 

となる。

ポアンカレ代数

ポアンカレ代数とはポアンカレ群のリー代数で、次の交換関係をみたす。

${\displaystyle [P_{\mu },P_{\nu }]=0}$ 

${\displaystyle [M_{\mu \nu },P_{\rho }]=i(\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu })}$ 

${\displaystyle [M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })}$ 

関連項目

• ネーターの定理
• ポアンカレ対称性の拡張
  • 超対称性
  • 共形変換