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数学において、ホッジスター作用素 (ホッジスターさようそ、Hodge star operator)、もしくは、ホッジ双対 (ホッジそうつい、Hodge dual)は、ウィリアム・ホッジ により導入された線型写像 である。ホッジ双対は、有限次元の向き付けられた 内積空間 の外積代数 の上で定義されるk -ベクトルのなす空間からn-k -ベクトルのなす空間への線形同型である。
他のベクトル空間に対する多くの構成と同様に、ホッジスター作用素は多様体の上のベクトルバンドル への作用に拡張することができる。 たとえば余接束 の外積代数(すなわち、多様体上の微分形式の空間)に対して、ホッジスター作用素を用いてラプラス=ド・ラーム作用素 を定義し、コンパクト なリーマン多様体 上の微分形式 のホッジ分解 を導くことができる。
次元と代数 V を向きつけられた内積空間とし、n をその次元とする。0 ≤ k ≤ n をみたす整数k に対し、ホッジスター作用素とは、(k -ベクトル )(英語版) (k -vectors)から (n − k ) -ベクトル空間への同型写像のことである。この写像の k -ベクトルの像は、k -ベクトルのホッジ双対 と呼ばれる。k -ベクトルの空間およびn-k -ベクトルの空間はともに次元
( n k ) = ( n n − k ) , {\displaystyle {n \choose k}={n \choose n-k},} である。同じ体の上の同じ次元の 2つのベクトル空間 は常に同型 であるが、標準的方法で同型となるわけではない。しかし、この場合のホッジ双対は、内積とベクトル空間の向き付けを利用することによって、代数における二項係数のパターンを反映した同型を自然にさだめる。またこれによって k -ベクトル空間の内積を導く。自然な定義とは、この双対関係が理論の幾何学的な役割を果たすことを意味する。
最初の興味深い例は、3次元ユークリッド空間 V である。二項係数は 1, 3, 3, 1であり、ホッジ双対は、2つの 3次元空間、V 自身とV から導かれる 2つのベクトルのウェッジ積 の空間の間の同型を確立する。詳細は、#例 の節を参照。この場合には、まさに伝統的なベクトル解析 であるクロス積 (外積)である。クロス積は 3次元でのみ定義されるのに対し、ホッジ双対は一般次元で定義される。
k -ベクトルのホッジスターの定義 非退化 な対称双線型形式 (以下ではこれを内積 とよぶ)を持つベクトル空間 V 上のホッジスター作用素 (Hodge star operator)は、V の外積代数 上の線型作用素であり、0 ≤ k ≤ n に対し、k -ベクトルを (n − k ) -ベクトルに写すものである。
k -ベクトル上の内積 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } は、V 上の内積から、 k -ベクトル α = α 1 ∧ ⋯ ∧ α k {\displaystyle \alpha =\alpha _{1}\wedge \dots \wedge \alpha _{k}} と β = β 1 ∧ ⋯ ∧ β k {\displaystyle \beta =\beta _{1}\wedge \dots \wedge \beta _{k}} に対して、
⟨ α , β ⟩ = det ( ⟨ α i , β j ⟩ ) {\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle =\det \left(\left\langle \alpha _{i},\beta _{j}\right\rangle \right)} と定め、これを双線形に拡張することで得られる。
n -ベクトル の空間は 1 次元で、したがって単位n ベクトル ω には 2 つの取り方がある。このどちらかを選ぶことにより V 上の向き付け が決まる。
ホッジスター作用素は以下の性質をもち、またこれにより決定される。2つの k -ベクトル α , β が与えられたとき、
α ∧ ( ⋆ β ) = ⟨ α , β ⟩ ω {\displaystyle \alpha \wedge (\star \beta )=\langle \alpha ,\beta \rangle \omega } である。
説明 V を内積をもつ n -次元ベクトル空間とすると、上で述べたように各 k に対し ∧ k V {\displaystyle \wedge ^{k}V} にも内積を定めることができる。これらをすべて ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } で表すとする。 ∧ n V {\displaystyle \wedge ^{n}V} は 1 次元で、その長さ 1 のベクトルのうち一つ ω を固定して、これを向きとする。 k -ベクトル λ とn-k -ベクトル θ に対し λ ∧ θ ∈ ⋀ n V {\displaystyle \lambda \wedge \theta \in \bigwedge ^{n}V} が得られる。 これは上で選んだ ω のスカラー倍になる。
λ ∈ ⋀ k V {\displaystyle \lambda \in \bigwedge ^{k}V} を固定し、上で定まるスカラーを f λ ( θ ) {\displaystyle f_{\lambda }(\theta )} と書くと、一意に線形形式
f λ ∈ ( ⋀ n − k V ) ∗ {\displaystyle f_{\lambda }\in \left(\bigwedge ^{n-k}V\right)^{\!*}} が存在して、任意の θ ∈ ⋀ n − k V {\displaystyle \theta \in \bigwedge ^{n-k}V} に対して λ ∧ θ = f λ ( θ ) ω {\displaystyle \lambda \wedge \theta =f_{\lambda }(\theta )\omega } となる。 この線形形式に対し、リースの表現定理 により一意に (n − k) -ベクトル、 ⋆ λ ∈ ⋀ n − k V {\displaystyle \star \lambda \in \bigwedge ^{n-k}V} が存在し、
∀ θ ∈ ⋀ n − k V : f λ ( θ ) = ⟨ θ , ⋆ λ ⟩ . {\displaystyle \forall \theta \in \bigwedge ^{n-k}V:\qquad f_{\lambda }(\theta )=\langle \theta ,\star \lambda \rangle .} を満たす。言いかえると、この (n − k ) -ベクトル ★λ は 内積
( ⋀ n − k V ) ∗ ≅ ⋀ n − k V . {\displaystyle \left(\bigwedge ^{n-k}V\right)^{\!*}\cong \bigwedge ^{n-k}V.} により導かれた同型の下で f λ {\displaystyle f_{\lambda }} の像となる。このようにして、
⋆ : ⋀ k V → ⋀ n − k V {\displaystyle \star :\bigwedge ^{k}V\to \bigwedge ^{n-k}V} が得られる。
ホッジスターの計算 ω = e 1 ∧ ⋯ ∧ e n {\displaystyle \omega =e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n}} となるように順序付けされた直交基底 ( e 1 , ⋯ , e n ) {\displaystyle (e_{1},\cdots ,e_{n})} が与えられると、
⋆ ( e 1 ∧ e 2 ∧ ⋯ ∧ e k ) = e k + 1 ∧ e k + 2 ∧ ⋯ ∧ e n . {\displaystyle \star (e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{k})=e_{k+1}\wedge e_{k+2}\wedge \cdots \wedge e_{n}.} と計算できる。
より一般に(偶置換 ) ( i 1 , i 2 , ⋯ , i n ) {\displaystyle (i_{1},i_{2},\cdots ,i_{n})} に対しても
⋆ ( e i 1 ∧ e i 2 ∧ ⋯ ∧ e i k ) = e i k + 1 ∧ e i k + 2 ∧ ⋯ ∧ e i n , {\displaystyle \star (e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}})=e_{i_{k+1}}\wedge e_{i_{k+2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{n}},} となることが分かる。
スター作用素のインデックス記法 インデックス記法を使うと、ホッジ双対は、n -次元完全反対称レヴィ・チヴィタテンソル (Levi-Civita tensor)と k -形式の添字の縮約により得られる。これはレヴィ・チヴィタの記号 から|det g |1 / 2 だけずれている。ここでg を内積(計量テンソル )とした。ここで行列式は、たとえば(ローレンツ多様体 )の接空間のようにg が正定値でない場合もあるので絶対値をとる必要がある。
このように[1] 、
( ⋆ η ) i 1 , i 2 , … , i n − k = 1 ( k ) ! η j 1 , … , j k | det g | ϵ j 1 , … , j k , i 1 , … , i n − k {\displaystyle (\star \eta )_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n-k}}={\frac {1}{(k)!}}\eta ^{j_{1},\ldots ,j_{k}}\,{\sqrt {|\det g|}}\,\epsilon _{j_{1},\ldots ,j_{k},i_{1},\ldots ,i_{n-k}}} と書く。ここに η は k の任意の反対称テンソル である。レヴィ・チヴィタテンソル同じ内積 g を使い、レヴィ・チヴィタテンソル の定義と同様に、(インデックスを上げたり下げたりする )(英語版) (indices are raised and lowered)。任意のテンソルを同じように表示できるが、結果は反対象である。これはテンソルの対象な成分が完全反対称レヴィ・チヴィタ記号との縮約により消去されるからである。
例 スター作用素のよく知られた例は、n = 3 次元の場合で、このとき 3 次元のベクトルと 3 × 3 歪対称行列 の対応と見なすことができる。これはベクトル解析 において暗に使われていて、たとえば、2つのベクトルのウェッジ積からクロス積 を作りだすことができる。特に、ユークリッド空間 R 3 では、容易に、
⋆ d x = d y ∧ d z {\displaystyle \star \mathrm {d} x=\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z} ⋆ d y = d z ∧ d x {\displaystyle \star \mathrm {d} y=\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x} ⋆ d z = d x ∧ d y {\displaystyle \star \mathrm {d} z=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y} であることが分かる。ここに dx , dy と dz は R 3 上の標準の直交な微分 1-形式 である。3次元におけるホッジ双対は、明らかにクロス積とウェッジ積を関連付ける。微分幾何学へ限定しない詳細な説明は、パラグラフを改める。
3次元の例 ホッジ双対を3次元へ適用すると、軸性ベクトル と (2-ベクトル )(英語版) (bivector)の間の同型 の間の同型、つまり軸性ベクトル a と 2-ベクトル A を対応させることができる。すなわち、[2]
A = ⋆ a a = ⋆ A {\displaystyle \mathbf {A} =\star \mathbf {a} \qquad \mathbf {a} =\star \mathbf {A} } が成り立つ。ここに、★ は双対作用素を表す。これらの双対関係は、(実、および複素クリフォード代数 ) C ℓ3 (R) の(単位擬スカラー )(英語版) (Unit pseudoscalar)の作用により以下のように記述できる[3] 。i = e 1 e 2 e 3 (ベクトル {e ℓ } は 3次元ユークリッド空間の中での直交基底である)は、次の関係式に従う[4] 。
A = a i , a = − A i . {\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {a} i\,,\quad \mathbf {a} =-\mathbf {A} i.} ベクトルの双対は i をかけることにより得ることができる。これは次のように代数の(幾何学的な積 )(英語版) (geometric product)の性質を使って説明できる。
a i = ( a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 ) e 1 e 2 e 3 = a 1 e 2 e 3 ( e 1 ) 2 + a 2 e 3 e 1 ( e 2 ) 2 + a 3 e 1 e 2 ( e 3 ) 2 = a 1 e 2 e 3 + a 2 e 3 e 1 + a 3 e 1 e 2 = ( ⋆ a ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} i&=\left(a_{1}\mathbf {e_{1}} +a_{2}\mathbf {e_{2}} +a_{3}\mathbf {e_{3}} \right)\mathbf {e_{1}e_{2}e_{3}} \\&=a_{1}\mathbf {e_{2}e_{3}} (\mathbf {e_{1}} )^{2}+a_{2}\mathbf {e_{3}e_{1}} (\mathbf {e_{2}} )^{2}+a_{3}\mathbf {e_{1}e_{2}} (\mathbf {e_{3}} )^{2}\\&=a_{1}\mathbf {e_{2}e_{3}} +a_{2}\mathbf {e_{3}e_{1}} +a_{3}\mathbf {e_{1}e_{2}} \\&=(\star \mathbf {a} )\end{aligned}}} また、{e ℓ e m } により張られる双対空間においても、
A i = ( A 1 e 2 e 3 + A 2 e 3 e 1 + A 3 e 1 e 2 ) e 1 e 2 e 3 = A 1 e 1 ( e 2 e 3 ) 2 + A 2 e 2 ( e 3 e 1 ) 2 + A 3 e 3 ( e 1 e 2 ) 2 = − ( A 1 e 1 + A 2 e 2 + A 3 e 3 ) = − ( ⋆ A ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} i&=\left(A_{1}\mathbf {e_{2}e_{3}} +A_{2}\mathbf {e_{3}e_{1}} +A_{3}\mathbf {e_{1}e_{2}} \right)\mathbf {e_{1}e_{2}e_{3}} \\&=A_{1}\mathbf {e_{1}} (\mathbf {e_{2}e_{3}} )^{2}+A_{2}\mathbf {e_{2}} (\mathbf {e_{3}e_{1}} )^{2}+A_{3}\mathbf {e_{3}} (\mathbf {e_{1}e_{2}} )^{2}\\&=-\left(A_{1}\mathbf {e_{1}} +A_{2}\mathbf {e_{2}} +A_{3}\mathbf {e_{3}} \right)\\&=-(\star \mathbf {A} )\end{aligned}}} である。ここでは次の関係式
( e 1 e 2 ) 2 = e 1 e 2 e 1 e 2 = − e 1 e 2 e 2 e 1 = − 1 {\displaystyle (\mathbf {e_{1}e_{2}} )^{2}=\mathbf {e_{1}e_{2}e_{1}e_{2}} =-\mathbf {e_{1}e_{2}e_{2}e_{1}} =-1} および、
i 2 = ( e 1 e 2 e 3 ) 2 = e 1 e 2 e 3 e 1 e 2 e 3 = e 1 e 2 e 3 e 3 e 1 e 2 = e 1 e 2 e 1 e 2 = − 1 {\displaystyle {\mathit {i}}^{2}=(\mathbf {e_{1}e_{2}e_{3}} )^{2}=\mathbf {e_{1}e_{2}e_{3}e_{1}e_{2}e_{3}} =\mathbf {e_{1}e_{2}e_{3}e_{3}e_{1}e_{2}} =\mathbf {e_{1}e_{2}e_{1}e_{2}} =-1} を用いた。
これらの双対 ★ と i 関係式は、任意のベクトルに対して適用できる。ここで双対は、クロス積 a = u × v として生成された軸性ベクトルを、2-ベクトルに値を持ち 2つの(極 )(英語版) (polar)(つまり、軸性ではない)ベクトル u と v の外積 A = u ∧ v へと関係付けることに適用される。2つの積は、行列式 を使う同じ方法で、記法 e ℓm = e ℓ e m を使い、次のように書き表すことができる。
a = u × v = | e 1 e 2 e 3 u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 | , A = u ∧ v = | e 23 e 31 e 12 u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 | . {\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {u} \times \mathbf {v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\mathbf {e} _{3}\\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}\,,\quad \mathbf {A} =\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{23}&\mathbf {e} _{31}&\mathbf {e} _{12}\\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}.} これらの表現は、2つのタイプのベクトルは、ℓ, m , n が巡回的(cyclic)な関係式
⋆ e ℓ = e ℓ i = e ℓ e 1 e 2 e 3 = e m e n , {\displaystyle \star \mathbf {e} _{\ell }=\mathbf {e} _{\ell }{\mathit {i}}=\mathbf {e} _{\ell }\mathbf {e_{1}e_{2}e_{3}} =\mathbf {e} _{m}\mathbf {e} _{n}\,,} と、再び ℓ, m , n が巡回的な関係式
⋆ ( e ℓ e m ) = − ( e ℓ e m ) i = − ( e ℓ e m ) e 1 e 2 e 3 = e n {\displaystyle \star (\mathbf {e} _{\ell }\mathbf {e} _{m})=-(\mathbf {e} _{\ell }\mathbf {e} _{m}){\mathit {i}}=-\left(\mathbf {e} _{\ell }\mathbf {e} _{m}\right)\mathbf {e_{1}e_{2}e_{3}} =\mathbf {e} _{n}} の 2つの結果として、ホッジ双対であることを示される[2] 。
⋆ ( u ∧ v ) = u × v , ⋆ ( u × v ) = u ∧ v . {\displaystyle \star (\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )=\mathbf {u\times v} \,,\quad \star (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} .} i を用いた ★ の、よく使われている関係式[5] は、
u × v = − ( u ∧ v ) i , u ∧ v = ( u × v ) i {\displaystyle \mathbf {u\times v} =-(\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )i\,,\quad \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} =(\mathbf {u\times v} )i\ } である。
4次元 n = 4 の場合では、ホッジ双対は 2-ベクトルのなす空間の自己準同型 として作用する(つまり、 4 − 2 = 2 であるので、ホッジ双対は 2-形式から 2-形式への写像である)。このときホッジ双対は対合 であり、よって、ホッジ双対は自分から自分自身への自己双対 と反自己双対 な部分空間へ分解し、その上でホッジ双対がそれぞれ +1 , -1 として作用する。
他の有用な例は、n = 4 次元の計量の符号 (+ − − −) と 座標 (t , x , y , z ) を使いミンコフスキー空間に対し、( ε 0123 = 1 {\displaystyle \varepsilon _{0123}=1} を使い、) 1-形式に対し、
⋆ d t = d x ∧ d y ∧ d z {\displaystyle \star \mathrm {d} t=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z} ⋆ d x = d t ∧ d y ∧ d z {\displaystyle \star \mathrm {d} x=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z} ⋆ d y = d t ∧ d z ∧ d x {\displaystyle \star \mathrm {d} y=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x} ⋆ d z = d t ∧ d x ∧ d y {\displaystyle \star \mathrm {d} z=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y} であり、一方、2-形式に対し、
⋆ ( d t ∧ d x ) = − d y ∧ d z {\displaystyle \star (\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x)=-\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z} ⋆ ( d t ∧ d y ) = d x ∧ d z {\displaystyle \star (\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y)=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z} ⋆ ( d t ∧ d z ) = − d x ∧ d y {\displaystyle \star (\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z)=-\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y} ⋆ ( d x ∧ d y ) = d t ∧ d z {\displaystyle \star (\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y)=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z} ⋆ ( d x ∧ d z ) = − d t ∧ d y {\displaystyle \star (\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z)=-\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y} ⋆ ( d y ∧ d z ) = d t ∧ d x {\displaystyle \star (\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z)=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x} である。
双対性 ホッジスターは双対性を定義する、つまりホッジスターを二回適用することで符号を除き外積代数の恒等写像を定める。n -次元空間 V の中の Λk (V ) の k -ベクトルが与えられると、
⋆ ⋆ η = ( − 1 ) k ( n − k ) s η {\displaystyle \star {\star \eta }=(-1)^{k(n-k)}s\eta } を得る。ここに s は V 上の内積の(計量の符号 )(英語版) (metric signature)である。特に、s は内積テンソルの行列式 の符号である。このように、たとえば、n = 4 で内積の符号が、(+ − − −) 、または、(− + + +) であれば、s = −1 である。通常のユークリッド空間では符号は常に正であり、従って、s = 1 である。ホッジスターが擬リーマン多様体へ拡張されると、上の内積は対角形式での計量であると理解される。
上のことから、★ の逆写像が
{ ⋆ − 1 : Λ k → Λ n − k η ↦ ( − 1 ) k ( n − k ) s ⋆ η {\displaystyle {\begin{cases}\star ^{-1}:\Lambda ^{k}\to \Lambda ^{n-k}\\\eta \mapsto (-1)^{k(n-k)}s{\star \eta }\end{cases}}} で与えられることがわかる。n が奇数であれば、任意の k に対し k (n − k ) は偶数であり、n が偶数であれば、 k (n − k ) と k の偶奇はひとしい。従って、
{ ⋆ − 1 = s ⋆ n is odd ⋆ − 1 = ( − 1 ) k s ⋆ n is even {\displaystyle {\begin{cases}\star ^{-1}=s\star &n{\text{ is odd}}\\\star ^{-1}=(-1)^{k}s\star &n{\text{ is even}}\end{cases}}} である。ここに k は作用した形式の次数である。
多様体上のホッジスター 上の構成を向きづけられた n -次元のリーマン多様体 、あるいは擬リーマン多様体 の余接空間 に対しても適用でき、k -形式 のホッジ双対 (n − k ) -形式を得る。すると、ホッジスターは多様体上の微分形式のL 2 -ノルム である内積を与える。 Λ k ( T ∗ M ) {\displaystyle \Lambda ^{k}(T^{*}M)} の(切断 ) η と ζ に対し、
( η , ζ ) = ∫ M η ∧ ⋆ ζ = ∫ M ⟨ η , ζ ⟩ d Vol {\displaystyle (\eta ,\zeta )=\int _{M}\eta \wedge \star \zeta =\int _{M}\langle \eta ,\zeta \rangle \;\mathrm {d} {\text{Vol}}} である(切断の集合は、 Ω k ( M ) = Γ ( Λ k ( T ∗ M ) ) {\displaystyle \Omega ^{k}(M)=\Gamma (\Lambda ^{k}(T^{*}M))} と書かれることが多い。 Ω k ( M ) {\displaystyle \Omega ^{k}(M)} の元は、外 k -形式と呼ばれる)。
さらに一般的には、向き付けされていない場合は、k -形式のホッジスターを (n − k ) -(擬微分形式 )(英語版) (pseudo differential form)、すなわち、標準ラインバンドル Ω n (M) に値を持つ微分形式として定義することができる。
余微分形式 多様体上のホッジ双対の最も重要な応用は、余微分 (codifferential) δ を定義することである。
δ = ( − 1 ) n k + n + 1 s ⋆ d ⋆ = ( − 1 ) k ⋆ − 1 d ⋆ {\displaystyle \delta =(-1)^{nk+n+1}s\,{\star \mathrm {d} \star }=(-1)^{k}\,{\star ^{-1}\mathrm {d} \star }} とする。ここに、リーマン多様体に対し、d は外微分 、s = 1 とする。
d : Ω k ( M ) → Ω k + 1 ( M ) {\displaystyle \mathrm {d} :\Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k+1}(M)} に対し、 δ : Ω k ( M ) → Ω k − 1 ( M ) {\displaystyle \delta :\Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k-1}(M)} である。 余微分は反微分 ではない。これは外微分と異なる。
余微分は外微分に随伴する、すなわち ⟨ η , δ ζ ⟩ = ⟨ d η , ζ ⟩ {\displaystyle \langle \eta ,\delta \zeta \rangle =\langle \mathrm {d} \eta ,\zeta \rangle } である。 ここに ζ は (k +1)-形式であり、η は k -形式である。 これは滑らかな微分形式に対するストークスの定理より従う。このことは
0= ∫ M d ( η ∧ ⋆ ζ ) = ∫ M ( d η ∧ ⋆ ζ − η ∧ ⋆ ( − 1 ) k + 1 ⋆ − 1 d ⋆ ζ ) = ⟨ d η , ζ ⟩ − ⟨ η , δ ζ ⟩ {\displaystyle \int _{M}\mathrm {d} (\eta \wedge \star \zeta )=\int _{M}(\mathrm {d} \eta \wedge \star \zeta -\eta \wedge \star (-1)^{k+1}\,{\star ^{-1}\mathrm {d} {\star \zeta }})=\langle \mathrm {d} \eta ,\zeta \rangle -\langle \eta ,\delta \zeta \rangle } となるとき、つまり、M は境界を持たないか、または、η あるいは ★ζ が境界値が 0 を持っているときである。 (もちろん、真の随伴性は、滑らかな微分形式の閉包として、適切な位相ベクトル空間への連続に接続した後に、これらの事実が成り立つ。)
注意すべきは、微分形式は、d2 = 0 を満たすので、余微分は対応する性質 δ 2 = s 2 ⋆ d ⋆ ⋆ d ⋆ = ( − 1 ) k ( n − k ) s 3 ⋆ d 2 ⋆ = 0 {\displaystyle \!\delta ^{2}=s^{2}{\star \mathrm {d} {\star {\star \mathrm {d} {\star }}}}=(-1)^{k(n-k)}s^{3}{\star \mathrm {d} ^{2}\star }=0} をみたす。
ラプラス・ド・ラーム作用素 は Δ = ( δ + d ) 2 = δ d + d δ {\displaystyle \!\Delta =(\delta +\mathrm {d} )^{2}=\delta \mathrm {d} +\mathrm {d} \delta } で与えられ、 ホッジ理論 の心臓部をなす。この作用素は対称、すなわち ⟨ Δ ζ , η ⟩ = ⟨ ζ , Δ η ⟩ {\displaystyle \langle \Delta \zeta ,\eta \rangle =\langle \zeta ,\Delta \eta \rangle } であり、 非負 ⟨ Δ η , η ⟩ ≥ 0 {\displaystyle \langle \Delta \eta ,\eta \rangle \geq 0} である。 ホッジ双対は、調和形式を調和形式へ写像する。ホッジ理論 の結果として、ド・ラームコホモロジー は自然に調和 k -形式の空間と同型となり、ホッジスターはコホモロジー群
⋆ : H Δ k ( M ) → H Δ n − k ( M ) , {\displaystyle \star :H_{\Delta }^{k}(M)\to H_{\Delta }^{n-k}(M),} の同型をもたらす。これは H k (M ) のポアンカレ双対性 と標準的に同一視される。
3次元での微分 3次元では、★ 作用素と外微分 d の組み合わせは、古典的作用素 grad 、curl 、div を生成する。このことは次のようにして分かる。d は、0-形式(函数)から 1-形式へ、1-形式から 2-形式へ、2-形式から 3-形式へ(3-形式へ作用させると 0 となる)作用素である。0-形式 ω = f ( x , y , z ) {\displaystyle \omega =f(x,y,z)} に対し、成分表示された第一の場合は、grad 作用素と同一視される。
d ω = ∂ f ∂ x d x + ∂ f ∂ y d y + ∂ f ∂ z d z . {\displaystyle \mathrm {d} \omega ={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathrm {d} y+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathrm {d} z.} 第二の場合は、★ 作用素により、1-形式上の作用素( η = A d x + B d y + C d z {\displaystyle \eta =A\,\mathrm {d} x+B\,\mathrm {d} y+C\,\mathrm {d} z} )を成分で示すと、curl 作用素である。
d η = ( ∂ C ∂ y − ∂ B ∂ z ) d y ∧ d z + ( ∂ C ∂ x − ∂ A ∂ z ) d x ∧ d z + ( ∂ B ∂ x − ∂ A ∂ y ) d x ∧ d y . {\displaystyle \mathrm {d} \eta =\left({\partial C \over \partial y}-{\partial B \over \partial z}\right)\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+\left({\partial C \over \partial x}-{\partial A \over \partial z}\right)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z+\left({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial y}\right)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y.} ホッジスター作用素を適用することは、次を意味する。
⋆ d η = ( ∂ C ∂ y − ∂ B ∂ z ) d x − ( ∂ C ∂ x − ∂ A ∂ z ) d y + ( ∂ B ∂ x − ∂ A ∂ y ) d z . {\displaystyle \star \mathrm {d} \eta =\left({\partial C \over \partial y}-{\partial B \over \partial z}\right)\mathrm {d} x-\left({\partial C \over \partial x}-{\partial A \over \partial z}\right)\mathrm {d} y+\left({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial y}\right)\mathrm {d} z.} 最後の場合は、★ を作用させると、1-形式 ( η = A d x + B d y + C d z {\displaystyle \eta =A\,\mathrm {d} x+B\,\mathrm {d} y+C\,\mathrm {d} z} ) から 0-形式(函数)を得て、成分で示すと div 作用素である。
⋆ η = A d y ∧ d z − B d x ∧ d z + C d x ∧ d y d ⋆ η = ( ∂ A ∂ x + ∂ B ∂ y + ∂ C ∂ z ) d x ∧ d y ∧ d z ⋆ d ⋆ η = ∂ A ∂ x + ∂ B ∂ y + ∂ C ∂ z . {\displaystyle {\begin{aligned}\star \eta &=A\,\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-B\,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z+C\,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\\\mathrm {d} {\star \eta }&=\left({\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}\right)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z\\\star \mathrm {d} {\star \eta }&={\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}.\end{aligned}}} この表現の有利な点のひとつは、どの場合でも成り立つ恒等式 d2 = 0 が、残る 2つをまとめ、curl(grad( f )) = 0 と div(curl(F )) = 0 と得る。特に、マクスウェルの方程式 は、外微分とホッジスター作用素で表すと、特別に単純でエレガントな形となる。
ラプラシアン も得ることができる。上の情報と Δ f = div grad f という事実を使うと、0-形式 ω = f ( x , y , z ) {\displaystyle \omega =f(x,y,z)} に対し、
Δ ω = ⋆ d ⋆ d ω = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 {\displaystyle \Delta \omega =\star \mathrm {d} {\star \mathrm {d} \omega }={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}} となる。
脚注
参考文献 David Bleecker (1981) Gauge Theory and Variational Principles . Addison-Wesley Publishing. (ISBN 0-201-10096-7 ). Chpt. 0 contains a condensed review of non-Riemannian differential geometry. Jurgen Jost (2002) Riemannian Geometry and Geometric Analysis . Springer-Verlag . (ISBN 3-540-42627-2 ). A detailed exposition starting from basic principles; does not treat the pseudo-Riemannian case. (Charles W. Misner ), Kip S. Thorne , John Archibald Wheeler (1970) Gravitation . W.H. Freeman. (ISBN 0-7167-0344-0 ). A basic review of (differential geometry ) in the special case of four-dimensional (spacetime ). Steven Rosenberg (1997) The Laplacian on a Riemannian manifold . Cambridge University Press . (ISBN 0-521-46831-0 ). An introduction to the (heat equation ) and the (Atiyah-Singer theorem ). Tevian Dray (1999) The Hodge Dual Operator . A thorough overview of the definition and properties of the Hodge dual operator.