ヘッケ作用素

ヘッケ作用素（ヘッケさようそ、英: Hecke operator）とは、ウェイト${\displaystyle k}$の(正則保型形式)に作用する作用素。モーデル作用素を拡張して定義される。

定義

${\displaystyle f}$ をウェイト${\displaystyle k}$ の正則保型形式${\displaystyle M_{k}(\Gamma )}$ と仮定する。 (ただし、${\displaystyle \Gamma :=SL_{2}(\mathbb {Z} )}$ である。) このとき、${\displaystyle m\geq 1}$ に対して、ヘッケ作用素${\displaystyle T_{k}(m):M_{k}(\Gamma )\rightarrow M_{k}(\Gamma )}$ は、

${\displaystyle {\begin{aligned}(T_{k}(m)f)(z)&:=m^{k-1}\sum _{ad=m}\sum _{b=0}^{d-1}d^{-k}f\left({\frac {az+b}{d}}\right)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{d|(m,n)}d^{k-1}a\left({\frac {mn}{d^{2}}},f\right)\right)q^{n}\\&=\sigma _{k-1}(m)a(0,f)+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{d|(m,n)}d^{k-1}a\left({\frac {mn}{d^{2}}},f\right)\right)q^{n},\end{aligned}}}$ 

によって定義される^[1]。 ただし、${\displaystyle \sigma _{k}(n):=\sum _{d|n}d^{k}}$ ^[2]、また、${\displaystyle a(n,f)}$ は 正則保型形式${\displaystyle f}$ のフーリエ係数である^[3]。

${\displaystyle f=\sum _{n=0}^{\infty }a(n,f)q^{n}.}$ 

ヘッケ環

作用素${\displaystyle T_{k}(m)}$ は関係式

${\displaystyle T_{k}(m)T_{k}(n)=T_{k}(n)T_{k}(m)=\sum _{d|(m,n)}d^{k-1}T_{k}\left({\frac {mn}{d^{2}}}\right),}$ 

を満足するので、${\displaystyle \mathbb {T} _{k}:=\mathbb {C} \left[T_{k}(m)|m=1,2\cdots \right]}$ は可換な${\displaystyle \mathbb {C} }$  代数を構成する^[1]。この${\displaystyle \mathbb {T} _{k}}$ をヘッケ環と呼ぶ。 (ただし、ヘッケ環は、制限を加えたものや、局所的な類似など他にもいろいろとある^[1]。)

出典

1. ^ ^{a b c} 黒川他「数論Ⅱ」, p. 454.
2. ^ 黒川他「数論Ⅱ」, p. 390.
3. ^ 黒川他「数論Ⅱ」, p. 451.

参考文献

• 黒川信重、栗原将人、斎藤毅『数論Ⅱ：岩澤理論と保型形式』岩波書店、2005年。ISBN (4-00-005528-3)。