数学 におけるフィボナッチ多項式 （フィボナッチたこうしき、英 : Fibonacci polynomials ）とは、フィボナッチ数 の一般化として見られるある多項式列 のことを言う。同様にリュカ数 の一般化として得られる多項式列のことはリュカ数 （Lucas polynomials）と言う。
定義 フィボナッチ多項式 は、次の漸化式 より得られる[1]
F n ( x ) = { 0 , if n = 0 1 , if n = 1 x F n − 1 ( x ) + F n − 2 ( x ) , if n ≥ 2 {\displaystyle F_{n}(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}n=0\\1,&{\mbox{if }}n=1\\xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),&{\mbox{if }}n\geq 2\end{cases}}} 初めのいくつかのフィボナッチ多項式を書くと、次のようになる：
F 0 ( x ) = 0 {\displaystyle F_{0}(x)=0\,} F 1 ( x ) = 1 {\displaystyle F_{1}(x)=1\,} F 2 ( x ) = x {\displaystyle F_{2}(x)=x\,} F 3 ( x ) = x 2 + 1 {\displaystyle F_{3}(x)=x^{2}+1\,} F 4 ( x ) = x 3 + 2 x {\displaystyle F_{4}(x)=x^{3}+2x\,} F 5 ( x ) = x 4 + 3 x 2 + 1 {\displaystyle F_{5}(x)=x^{4}+3x^{2}+1\,} F 6 ( x ) = x 5 + 4 x 3 + 3 x {\displaystyle F_{6}(x)=x^{5}+4x^{3}+3x\,} リュカ多項式は、初めの値が異なるだけで、同様の漸化式より得られる[2] L n ( x ) = { 2 , if n = 0 x , if n = 1 x L n − 1 ( x ) + L n − 2 ( x ) , if n ≥ 2. {\displaystyle L_{n}(x)={\begin{cases}2,&{\mbox{if }}n=0\\x,&{\mbox{if }}n=1\\xL_{n-1}(x)+L_{n-2}(x),&{\mbox{if }}n\geq 2.\end{cases}}}
初めのいくつかのリュカ多項式は次のようになる：
L 0 ( x ) = 2 {\displaystyle L_{0}(x)=2\,} L 1 ( x ) = x {\displaystyle L_{1}(x)=x\,} L 2 ( x ) = x 2 + 2 {\displaystyle L_{2}(x)=x^{2}+2\,} L 3 ( x ) = x 3 + 3 x {\displaystyle L_{3}(x)=x^{3}+3x\,} L 4 ( x ) = x 4 + 4 x 2 + 2 {\displaystyle L_{4}(x)=x^{4}+4x^{2}+2\,} L 5 ( x ) = x 5 + 5 x 3 + 5 x {\displaystyle L_{5}(x)=x^{5}+5x^{3}+5x\,} L 6 ( x ) = x 6 + 6 x 4 + 9 x 2 + 2. {\displaystyle L_{6}(x)=x^{6}+6x^{4}+9x^{2}+2.\,} フィボナッチ数およびリュカ数は、それぞれの多項式において x = 1 とすることで得られる。ペル数 は F n x = 2 とすることで得られる。F n n − 1 で、L n n である。これらの多項式列の通常母関数 は次のようになる[3]
∑ n = 0 ∞ F n ( x ) t n = t 1 − x t − t 2 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }F_{n}(x)t^{n}={\frac {t}{1-xt-t^{2}}}} ∑ n = 0 ∞ L n ( x ) t n = 2 − x t 1 − x t − t 2 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }L_{n}(x)t^{n}={\frac {2-xt}{1-xt-t^{2}}}.} これらの多項式列は、リュカ数列 を使うことで次のように表現することが出来る：
F n ( x ) = U n ( x , − 1 ) , {\displaystyle F_{n}(x)=U_{n}(x,-1),\,} L n ( x ) = V n ( x , − 1 ) . {\displaystyle L_{n}(x)=V_{n}(x,-1).\,}
関係式 リュカ数列の特別な場合として、フィボナッチ多項式は以下に述べる多くの関係式を満たす。
初めに、負の添え字に対しては次の関係式が成り立つ[4]
F − n ( x ) = ( − 1 ) n − 1 F n ( x ) , L − n ( x ) = ( − 1 ) n L n ( x ) . {\displaystyle F_{-n}(x)=(-1)^{n-1}F_{n}(x),\,L_{-n}(x)=(-1)^{n}L_{n}(x).} また、次の関係式が成り立つ[4]
F m + n ( x ) = F m + 1 ( x ) F n ( x ) + F m ( x ) F n − 1 ( x ) {\displaystyle F_{m+n}(x)=F_{m+1}(x)F_{n}(x)+F_{m}(x)F_{n-1}(x)\,} L m + n ( x ) = L m ( x ) L n ( x ) − ( − 1 ) n L m − n ( x ) {\displaystyle L_{m+n}(x)=L_{m}(x)L_{n}(x)-(-1)^{n}L_{m-n}(x)\,} F n + 1 ( x ) F n − 1 ( x ) − F n ( x ) 2 = ( − 1 ) n {\displaystyle F_{n+1}(x)F_{n-1}(x)-F_{n}(x)^{2}=(-1)^{n}\,} F 2 n ( x ) = F n ( x ) L n ( x ) . {\displaystyle F_{2n}(x)=F_{n}(x)L_{n}(x).\,} ビネットの公式と同様に、閉形式表現は次のようになる[4]
F n ( x ) = α ( x ) n − β ( x ) n α ( x ) − β ( x ) , L n ( x ) = α ( x ) n + β ( x ) n . {\displaystyle F_{n}(x)={\frac {\alpha (x)^{n}-\beta (x)^{n}}{\alpha (x)-\beta (x)}},\,L_{n}(x)=\alpha (x)^{n}+\beta (x)^{n}.} ただし
α ( x ) = x + x 2 + 4 2 , β ( x ) = x − x 2 + 4 2 {\displaystyle \alpha (x)={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}},\,\beta (x)={\frac {x-{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}}} は次の（t に関する）方程式の解である：
t 2 − x t − 1 = 0. {\displaystyle t^{2}-xt-1=0.\,}
組合せ論的解釈
フィボナッチ多項式の係数は、パスカルの三角形の「浅い」対角（赤線）を読むことで求められる。それら係数の和は、フィボナッチ数である。
Fn (x ) における xk の係数を F (n ,k ) と表す。すなわち
F n ( x ) = ∑ k = 0 n F ( n , k ) x k , {\displaystyle F_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}F(n,k)x^{k},\,} とする。このとき F (n ,k ) は、 2 × 1 のドミノ とちょうど k 個の 1 × 1 の正方形を使って、n −1 × 1 の長方形を埋める方法の数に等しい[1] F (n ,k ) は、1 をちょうど k 回使って、1 と 2 のみからなる順序付の和で n −1 を書く方法の数に等しい。例えば F(6,3)=4 であるが、これ 1 をちょうど 3 回使って、1 と 2 のみからなる順序付の和で 6-1 = 5 を書く方法 1+1+1+2, 1+1+2+1, 1+2+1+1, 2+1+1+1 の数 4 に等しい。そのような和で用いられる 1 と 2 の数を数えることで、F (n ,k ) は二項係数
F ( n , k ) = ( n + k − 1 2 k ) {\displaystyle F(n,k)={\binom {\tfrac {n+k-1}{2}}{k}}} に等しい。ここで n と k は異なるパリティ（奇偶性）を持つ。このことから、右図のようにパスカルの三角形 からフィボナッチ多項式の係数を求めることが出来る。
注釈 ^ a b Benjamin & Quinn p. 141 ^ Benjamin & Quinn p. 142 ^ Weisstein, Eric W . "Fibonacci Polynomial ". MathWorld ^ a b c Springer Benjamin, Arthur T.; Quinn, Jennifer J. (2003). “§9.4 Fibonacci and Lucas Polynomial”. Proofs that Really Count . MAA. p. 141. ISBN (0-88385-333-7 ) Philippou, Andreas N. (2001), "Fibonacci polynomials", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics , Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 。 Philippou, Andreas N. (2001), "Lucas polynomials", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics , Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 。 Weisstein, Eric W . "Lucas Polynomial ". MathWorld
参考文献 Hoggatt, V. E.; Bicknell, Marjorie (1973). “Roots of Fibonacci polynomials.”. Fibonacci Quarterly 11 : 271–274. ISSN 0015-0517. MR 0332645. Hoggatt, V. E.; Long, Calvin T. (1974). “Divisibility properties of generalized Fibonacci Polynomials”. Fibonacci Quarterly 12 : 113. MR 0352034. Ricci, Paolo Emilio (1995). “Generalized Lucas polynomials and Fibonacci polynomials”. Rivista di Matematica della Università di Parma . V. Ser. 4 : 137–146. MR 1395332. Yuan, Yi; Zhang, Wenpeng (2002). “Some identities involving the Fibonacci Polynomials”. Fibonacci Quarterly 40 (4): 314. MR 1920571. Cigler, Johann (2003). “q-Fibonacci polynomials”. Fibonacci Quarterly (41): 31–40. MR 1962279.
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