球面の回転群の構成 φ {\displaystyle \varphi } をある軸の180度の回転、z 軸の周りの120度の回転を ψ {\displaystyle \psi } とする。 これらによって生成された群をG とする。
回転軸を適当に選べば、 φ , ψ {\displaystyle \varphi ,\psi } は非可換であり、その積は1とならないことを示すことができる。
φ , ψ , ψ 2 {\displaystyle \varphi ,\psi ,\psi ^{2}} の2つ以上からなる積は、以下の α , β , γ , δ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta } のタイプに分類される。ただし, m 1 , m 2 , … , m n {\displaystyle m_{1},m_{2},\dots ,m_{n}} は1または2である.
α = ψ m 1 φ ψ m 2 ⋯ φ ψ m n φ β = φ ψ m 1 φ ψ m 2 ⋯ φ ψ m n γ = φ ψ m 1 φ ψ m 2 ⋯ φ ψ m n φ δ = ψ m 1 φ ψ m 2 ⋯ φ ψ m n {\displaystyle {\begin{array}{ccc}\alpha &=&\psi ^{m_{1}}\varphi \psi ^{m_{2}}\cdots \varphi \psi ^{m_{n}}\varphi \\\beta &=&\varphi \psi ^{m_{1}}\varphi \psi ^{m_{2}}\cdots \varphi \psi ^{m_{n}}\\\gamma &=&\varphi \psi ^{m_{1}}\varphi \psi ^{m_{2}}\cdots \varphi \psi ^{m_{n}}\varphi \\\delta &=&\psi ^{m_{1}}\varphi \psi ^{m_{2}}\cdots \varphi \psi ^{m_{n}}\end{array}}}
α ≠ 1 {\displaystyle \alpha \neq 1} であることが示されれば、 β , γ , δ ≠ 1 {\displaystyle \beta ,\gamma ,\delta \neq 1} であることが分かる。
λ = cos 2 3 π = − 1 2 , μ = sin 2 3 π = 3 2 , {\displaystyle \lambda =\cos {\frac {2}{3}}\pi =-{\frac {1}{2}},\;\;\;\mu =\sin {\frac {2}{3}}\pi ={\frac {\sqrt {3}}{2}},} とすると、
( ψ ) { x ′ = x λ − y μ y ′ = x μ + y λ z ′ = z . ( φ ) { x ′ = − x cos ϑ + z sin ϑ y ′ = − y z ′ = x sin ϑ + z cos ϑ ( ψ φ ) { x ′ = − x λ cos ϑ + y μ + x λ sin ϑ y ′ = − x μ cos ϑ − y λ + z μ sin ϑ z ′ = x sin ϑ + z cos ϑ {\displaystyle {\begin{array}{lcc}(\psi )&&\left\{{\begin{array}{l}x'=x\lambda -y\mu \\y'=x\mu +y\lambda \\z'=z\end{array}}.\right.\\(\varphi )&&\left\{{\begin{array}{l}x'=-x\cos \vartheta +z\sin \vartheta \\y'=-y\\z'=x\sin \vartheta +z\cos \vartheta \end{array}}\right.\\(\psi \varphi )&&\left\{{\begin{array}{l}x'=-x\lambda \cos \vartheta +y\mu +x\lambda \sin \vartheta \\y'=-x\mu \cos \vartheta -y\lambda +z\mu \sin \vartheta \\z'=x\sin \vartheta +z\cos \vartheta \end{array}}\right.\end{array}}}
であり、 ( ψ 2 φ ) {\displaystyle (\psi ^{2}\varphi )} は、 ( ψ φ ) {\displaystyle (\psi \varphi )} の式の μ {\displaystyle \mu } を − μ {\displaystyle -\mu } で置き換えたものである。
( ψ 2 φ ) {\displaystyle (\psi ^{2}\varphi )} または ( ψ φ ) {\displaystyle (\psi \varphi )} のn 個の積を t ( 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle ^{t}(0,0,1)} に作用させると、
x = sin ϑ ( a cos ϑ n − 1 + … ) y = sin ϑ ( b cos ϑ n − 1 + … ) z = c cos ϑ n + … {\displaystyle {\begin{array}{ccc}x&=&\sin \vartheta (a\cos \vartheta ^{n-1}+\ldots )\\y&=&\sin \vartheta (b\cos \vartheta ^{n-1}+\ldots )\\z&=&c\cos \vartheta ^{n}+\ldots \end{array}}}
であることが分かる.
α {\displaystyle \alpha } による t ( 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle ^{t}(0,0,1)} の変換結果のz 座標は
z = ( 3 2 ) n − 1 cos ϑ n + ⋯ {\displaystyle z=\left({\frac {3}{2}}\right)^{n-1}\cos \vartheta ^{n}+\cdots }
である。右辺は cos ϑ {\displaystyle \cos \vartheta } の多項式であり、係数は代数的数 である。 ϑ {\displaystyle \vartheta } を選んで、 cos ϑ {\displaystyle \cos \vartheta } が超越数 なるようにすれば、任意の n > 0 に対して、z ≠ 1 とすることができる。
群G の分割 回転 (G) を3つの集合A , B , C に分割することができる。
A が単位元1 を持つ。 ρ {\displaystyle \rho } がA に属するとき、 φ ρ {\displaystyle \varphi \rho } はA + B に属する。 ρ {\displaystyle \rho } がA に属するとき、 ψ ρ , ψ 2 ρ {\displaystyle \psi \rho ,\psi ^{2}\rho } はそれぞれB , C に属する。手続き (1) 1 は、A に属するものとする。 φ , ψ {\displaystyle \varphi ,\psi } はB に属するものとする。 ψ 2 {\displaystyle \psi ^{2}} はC に属するものとする。
手続き (2) ψ n {\displaystyle \psi _{n}} を先頭が ψ {\displaystyle \psi } 又は ψ 2 {\displaystyle \psi ^{2}} であるような、 φ , ψ , ψ 2 {\displaystyle \varphi ,\psi ,\psi ^{2}} のn 個の積とする。
φ n {\displaystyle \varphi _{n}} を先頭が φ {\displaystyle \varphi } であるような、 φ , ψ , ψ 2 {\displaystyle \varphi ,\psi ,\psi ^{2}} のn 個の積とする。
ψ n {\displaystyle \psi _{n}} がA , B , C に属するならば、 φ ψ n {\displaystyle \varphi \psi _{n}} はB , A , A に属するようにする。
φ n {\displaystyle \varphi _{n}} がA , B , C に属するならば、 ψ φ n {\displaystyle \psi \varphi _{n}} はB , C , A に属するようにする。 ψ 2 φ n {\displaystyle \psi ^{2}\varphi _{n}} はC , A , B に属するようにする。
このような手続きにより、G は3つの集合に分けることが可能である(下図参照)。
A 1 φ ψ , φ ψ 2 , ψ 2 φ φ ψ φ ⋯ B φ , ψ φ ψ 2 φ , ψ φ ψ , ψ φ ψ 2 ⋯ C ψ 2 ψ φ ψ 2 φ ψ , ψ 2 φ ψ 2 ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{c|c|ccc|ccccc|ccccc|l}A&1&&&&\varphi \psi &,&\varphi \psi ^{2}&,&\psi ^{2}\varphi &\varphi \psi \varphi &&&&&\cdots \\B&&\varphi &,&\psi &&&&&&\varphi \psi ^{2}\varphi &,&\psi \varphi \psi &,&\psi \varphi \psi ^{2}&\cdots \\C&&&&\psi ^{2}&&&&&\psi \varphi &&&\psi ^{2}\varphi \psi &,&\psi ^{2}\varphi \psi ^{2}&\cdots \end{array}}}
選択公理の適用 1と異なるG の要素のK での固定点をQ とする。Q は可算集合である。P = K - Q と置く。x の軌道を P x {\displaystyle P_{x}} とすると、 P x = P y {\displaystyle P_{x}=P_{y}} か、 P x ∩ P y = ∅ {\displaystyle P_{x}\cap P_{y}=\emptyset } のいずれか1つが成り立つ。 そして G = ⋃ x ∈ M P x {\displaystyle G=\bigcup _{x\in M}P_{x}} である.
選択公理 により、それぞれの軌道から代表元を選ぶことができる。これをM とする。
このとき
A ′ = { g x | g ∈ A , x ∈ M } B ′ = { g x | g ∈ B , x ∈ M } C ′ = { g x | g ∈ C , x ∈ M } {\displaystyle {\begin{array}{lcc}A'&=&\{gx\,|\,g\in A,\,x\in M\}\\B'&=&\{gx\,|\,g\in B,\,x\in M\}\\C'&=&\{gx\,|\,g\in C,\,x\in M\}\end{array}}}
A ′ , B ′ , C ′ {\displaystyle A',B',C'} をA , B , C と書き直すと P = A ∪ B ∪ C {\displaystyle P=A\cup B\cup C} であり、
φ A = B ∪ C , ψ A = B , ψ 2 A = C {\displaystyle \varphi A=B\cup C\;,\psi A=B,\;\psi ^{2}A=C}
であるから、 A , B , C , B ∪ C {\displaystyle A,B,C,B\cup C} は合同となる。よって定理は証明された。