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ディリクレ積分(ディリクレせきぶん、英: Dirichlet integral)とは、広義積分
のことである。これは π/2 に収束することが知られている。これは絶対収束ではなく、ルベーグ積分の意味では可積分でない。
この項では、この事実を複素積分に立脚して証明する。
証明 f(z) = eiz/z の積分を考える。0 < r < R をとり、図のように経路 Cr, CR を定める(赤領域を左に見るように進む向きを正とする)。f は赤領域で正則であるから、コーシーの積分定理により
-
となる。
まず、左辺第2項と第4項はオイラーの公式により
-
次に についての周回積分は でゼロとなることを示す。(ジョルダンの補題)
置換 により、
-
また、 についての周回積分は で となることを示す。(留数定理)
のとき、指数関数 の定義により、
-
とおくと、
-
ここで、置換 により、
-
次に、 を示そう。g は整関数、とくにコンパクト集合 で連続だから、ワイエルシュトラスの最大値定理を使うと、
-
を十分小さくとれば、経路 (の像)は K に含まれるから、
-
以上より、(1) において とすれば、(2)~(4)より
-
すなわち
-
が従う。
脚注参考文献 - 高橋, 礼司『複素解析』東京大学出版会〈基礎数学8〉、1990年。ISBN (978-4-13-062106-9)。
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