この記事は(検証可能)な(参考文献や出典)が全く示されていないか、不十分です。(出典を追加)して記事の信頼性向上にご協力ください。((このテンプレートの使い方)) 出典検索?: ("ダランベールの微分方程式") – (ニュース) · (書籍) · (スカラー) · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL(2017年10月) |
ダランベールの微分方程式(ダランベールのびぶんほうていしき、英語: d'Alembert's equation)とは、
… (1)
の形をしている一階常微分方程式である。 ここで、f、g はそれぞれ、微分可能実関数で、かつ f(p) ≠ p だとする。 f が恒等写像の場合、(1) はクレローの微分方程式となる。
この方程式は、ラグランジュの微分方程式(英語: Lagrange's equation)とも呼ばれる。
解法 とおくと、(1) は、
… (2)
となる。 (2) の両辺を x で微分すると、
である。 p を独立変数、x を p の関数とみなすと、f(p) ≠ p だから、
… (3)
となる。 (3) は(一階線型常微分方程式)だから、定数変化法により一般解が
… (4)
と求まる。 ここに、C は、積分定数である。
(1) の一般解は、p を助変数として、(2) と (4) により得られる。
なお、α = f(α) を満たす実数 α が存在する場合、y = x f(α) + g(α) が (1) の(特異解)を与えることがある。
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