ジグザグ補題

数学、特にホモロジー代数学におけるジグザグ補題（ジグザグほだい、英: zig-zag lemma）は、鎖複体のホモロジー群から成るある種の長完全列の存在を述べるものである。この結果は任意のアーベル圏で通用する。

補題の主張

任意のアーベル圏（アーベル群の圏や与えられた体上のベクトル空間の圏など）において、${\displaystyle ({\mathcal {A}},\partial _{\bullet }),({\mathcal {B}},\partial _{\bullet }'),({\mathcal {C}},\partial _{\bullet }'')}$  が以下の短完全列を満たす鎖複体だとする：

${\displaystyle 0\longrightarrow {\mathcal {A}}{\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }}{\mathcal {B}}{\stackrel {\beta }{\longrightarrow }}{\mathcal {C}}\longrightarrow 0}$ 

この系列は以下の可換図式の略記であるとする：

 

ここで各行は全て完全で、各列は全て鎖複体である。

ジグザグ補題は、境界写像（族）

${\displaystyle \delta _{n}:H_{n}({\mathcal {C}})\longrightarrow H_{n-1}({\mathcal {A}}),}$ 

が存在して、次の系列を完全にすることができることを主張する：

 

${\displaystyle \alpha _{*}^{}}$  と ${\displaystyle \beta _{*}^{}}$  は、通常のやり方で誘導されたホモロジー群の間の写像である。境界写像 ${\displaystyle \delta _{n}^{}}$  は以下の節で説明する。この補題の名称は、系列における写像が「ジグザグ」に走ることから来ている。不運な用語法のバッティングにより、ホモロジー代数には『蛇の補題』の名を持つ別の結果があるにもかかわらず、この命題（ジグザグ補題）はその名（蛇の補題）でも一般に知られている。蛇の補題を使うと、ジグザグ補題のここに記すものとは別の証明が得られる。

境界写像の構成

写像 ${\displaystyle \delta _{n}^{}}$  は標準的な図式追跡の議論を使って定義できる。${\displaystyle c\in C_{n}}$  を、 ${\displaystyle H_{n}({\mathcal {C}})}$  に属すある同値類の代表元とする。よって ${\displaystyle \partial _{n}''(c)=0}$  。行方向の完全性より ${\displaystyle \beta _{n}^{}}$  は全射なので、${\displaystyle \beta _{n}^{}(b)=c}$  となる ${\displaystyle b\in B_{n}}$  が存在しなければならない。図式の可換性より、

${\displaystyle \beta _{n-1}\partial _{n}'(b)=\partial _{n}''\beta _{n}(b)=\partial _{n}''(c)=0}$ 

再び行方向の完全性より、

${\displaystyle \partial _{n}'(b)\in \ker \beta _{n-1}=\mathrm {im} \alpha _{n-1}}$ 

${\displaystyle \alpha _{n-1}^{}}$  は単射だから、${\displaystyle \alpha _{n-1}(a)=\partial _{n}'(b)}$  を満たす ${\displaystyle a\in A_{n-1}}$  が一意的に存在する。これは輪体である。なぜなら ${\displaystyle \alpha _{n-2}^{}}$  は単射で、かつ ${\displaystyle \partial ^{2}=0}$  より

${\displaystyle \alpha _{n-2}\partial _{n-1}(a)=\partial _{n-1}'\alpha _{n-1}(a)=\partial _{n-1}'\partial _{n}'(b)=0}$ 

が従うからである（つまり ${\displaystyle \partial _{n-1}(a)\in \ker \alpha _{n-2}=\{0\}}$  ）。${\displaystyle a}$  は輪体なので、${\displaystyle H_{n-1}({\mathcal {A}})}$  に属すある同値類の代表元になる。ここで、

${\displaystyle \delta _{}^{}[c]=[a]}$ 

と定義する。このように定義された境界写像は well-defined であることが示せる（つまり写像が c と b の選択に依らずに定まる。証明は上記の図式追跡の議論と同様である）。また同様の議論で、長系列が各ホモロジー群のところで完全であることも示せる。

関連項目

• マイヤー・ヴィートリス完全系列

参考文献

• Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0. http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html 
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR1878556, https://books.google.com/books?id=Fge-BwqhqIYC 
• Munkres, James R. (1993). Elements of Algebraic Topology. New York: Westview Press. ISBN 0-201-62728-0