シルベスター行列

シルベスター行列（シルベスターぎょうれつ、Sylvester matrix）とは、2つの多項式が(共通根)を持つか否かを判定する行列である。名称は英国の数学者ジェームス・ジョセフ・シルベスターに因む。

概要

2つの多項式を以下のようにする。

f(x)=a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + … + a_n−1x + a_n
g(x)=b₀x^m + b₁x^m−1 + … + b_m−1x + b_m

このとき、(m + n) 個の変数をもつ連立方程式

${\displaystyle {\begin{cases}a_{0}x_{0}+a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}&=0\\\quad \qquad a_{0}x_{1}+\cdots +a_{n-1}x_{n}+a_{n}x_{n+1}\quad &=0\\\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \cdots \cdots &\\\qquad \qquad \qquad a_{0}x_{m-1}+a_{1}x_{m}+\cdots \cdots +a_{n}x_{m+n-1}&=0\\b_{0}x_{0}+b_{1}x_{1}+\cdots \cdots +b_{m}x_{m}&=0\\\quad \qquad b_{0}x_{1}+\cdots \cdots +b_{m-1}x_{m}+b_{m}x_{m+1}&=0\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \cdots \cdots &\\\quad \qquad \qquad b_{0}x_{n-1}+b_{1}x_{n}+\cdots \cdots \cdots +b_{m}x_{m+n-1}&=0\end{cases}}}$ 

が自明でない解 x_k = α^m+n−1−k (0 ≤ k ≤ m + n − 1) を持つことと、f, g が共通根 α を持つこととが同値である。この連立方程式の係数行列であるシルベスター行列は以下に示される (m + n) 次の正方行列である。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{0}&a_{1}&\quad &\cdots &a_{n}&&&\\[5pt]&a_{0}&a_{1}&\quad &\cdots &a_{n}&&0\\[5pt]0&&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\[5pt]&&&a_{0}&a_{1}&\quad &\cdots &a_{n}\\[5pt]b_{0}&b_{1}&\cdots &\quad &b_{m}&&&\\[5pt]&b_{0}&b_{1}&\cdots &\quad &b_{m}&&0\\[5pt]0&&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\[5pt]&&&b_{0}&b_{1}&\cdots &\quad &b_{m}\end{pmatrix}}}$ 

また、この行列の行列式を R(f,g) と表し、終結式（しゅうけつしき、resultant; リザルタント）またはシルベスター行列式と言う。

${\displaystyle f(x)=a_{0}\prod _{i=1}^{\deg f}(x-\alpha _{i}),\quad g(x)=b_{0}\prod _{j=1}^{\deg g}(x-\beta _{j})}$ 

と因数分解するとき、

${\displaystyle R(f,g)=a_{0}^{\deg g}b_{0}^{\deg f}\prod _{1\leq i\leq \deg f,1\leq j\leq \deg g}(\alpha _{i}-\beta _{j})}$ 

${\displaystyle R(cf,g)=c^{\deg g}R(f,g),\quad R(f,cg)=c^{\deg f}R(f,g)}$ 

f(x) と g(x) が共通根をもつための必要十分条件は R(f,g) = 0 である。多項式 f(x)=a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + … + a_n−1x + a_n が重根をもつための必要十分条件は f とその導多項式 f′ が共通根を持つことであり、また、f の判別式 D(f) が 0 となることであるから、終結式と判別式とは互いに関係がある。事実として

${\displaystyle a_{0}D(f)=(-1)^{n(n-1)/2}R(f,f')}$