ケーターの可逆振り子

ケーターの可逆振り子（ケーターのかぎゃくふりこ、英: Kater's pendulum）とは重力加速度を測定するために用いられた振り子である。

1818年のケーターの論文の振り子の図

物理学者ヘンリー・ケーターの名に由来して命名された。

概要

ケーターの振り子は棒状の振り子に支点を2か所存在する。2つの重りの位置を調整することによって各々の支点での周期が等しくなった時、微小振動では支点間の距離が単振り子の長さに等しくなるという理論によって、重力加速度を求める装置である。振り子を剛体として考えているため、ボルダの振り子と違い、ナイフエッジなどの部品もあわせて支点間距離が単振り子の長さに等しくなるため、補正する必要はなくなるが、重りの位置を調節して2つの支点での周期を近づける必要がある。

「:en:Kater's pendulum」を参照

理論

剛体の支点Oと重心Gを考え、慣性モーメントを${\displaystyle I}$ 、回転角を${\displaystyle \phi }$ と置くと、${\displaystyle I{\ddot {\phi }}=-Mgh\sin \phi }$ となる。kを回転半径とし${\displaystyle I=Mk^{2}}$ と置くと${\displaystyle {\frac {d^{2}\phi }{dt^{2}}}=-{\frac {gh}{k^{2}}}\sin \phi }$ となり単振り子の運動方程式${\displaystyle {\frac {d^{2}\phi }{dt^{2}}}=-{\frac {g}{a}}\sin \phi }$ に等しい。

この二つの式から${\displaystyle a={\frac {k^{2}}{h}}={\frac {k_{o}^{2}+h^{2}}{h}}}$ となる重心の回転半径${\displaystyle k_{o}}$ を用いると、${\displaystyle a}$ は単振り子の長さに相当し、${\displaystyle k_{o}}$ は一定のため${\displaystyle h}$ は${\displaystyle h^{2}-ah+k_{o}^{2}}$ の二根となる。${\displaystyle a}$ に対して2つの${\displaystyle h_{1}h_{2}}$ がある。${\displaystyle h_{1}+h_{2}=a}$ なので、${\displaystyle {\overline {OG}}}$ 上に${\displaystyle {\overline {GO'}}=a-h}$ なる点${\displaystyle O'}$ をとれば、${\displaystyle O'}$ を軸としたときの振動数は${\displaystyle O}$ を軸としたときの振動数に等しい、かような点${\displaystyle O'}$ を見出せば、${\displaystyle {\overline {OO'}}=a}$ を求めることができる。^[1]

脚注

1. ^ 山内恭彦 (1959/04/10). 一般力学　増訂第3版. 岩波書店