オイラー積分

数学において、オイラー積分（オイラーせきぶん, 英: Euler integral, Eulerian integral）とは、数学者オイラー、ルジャンドルによって研究された積分^[1][2]。第一種オイラー積分と第二種オイラー積分の2つが存在し、それぞれがベータ関数とガンマ関数に相当する。 オイラー積分の名はルジャンドルによって与えられた。

概要

第一種オイラー積分（Euler integral of the first kind）はベータ関数とも呼ばれ、${\displaystyle \Re (x)>0}$ , ${\displaystyle \Re (y)>0}$ を満たす${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$ に対して、

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}$ 

で定義される。

第二種オイラー積分（Euler integral of the second kind）はガンマ関数とも呼ばれ、${\displaystyle \Re (z)>0}$ を満たす${\displaystyle z}$ に対して、

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,dt}$ 

で定義される。

オイラー積分の性質として、正の整数${\displaystyle l}$ , ${\displaystyle m}$ , ${\displaystyle n}$ に対して、

${\displaystyle \mathrm {B} (l,m)={(l-1)!(m-1)! \over (l+m-1)!}={l+m \over lm{l+m \choose l}}}$ 

${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!\,}$ 

という表示もある。

脚注

1. ^ *L. Euler, Nov. Comm. Petrop., XVI.(1772)
2. ^ A. M. Legendre. Exercices de calcul intégral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures. 1. p. 221. https://archive.org/details/exercicescalculi01legerich 

参考文献

• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press 1927.

関連項目

• レオンハルト・オイラー
• 階乗
• ガンマ関数
• ベータ関数
• 特殊関数
• 超幾何関数