力学において、オイラーのコマ(オイラーのこま、英: Euler Top)とは、剛体の回転運動(コマの運動)の一種。重力などの外力が全く作用しない自由な運動に相当する。オイラー方程式が可積分となる例の一つとして、知られる。
概要 無重力状態で放られた剛体の回転運動や、重心で支えられた剛体の自由回転運動 など、外力が働かない剛体の運動をオイラーのコマと呼ぶ。 外力が作用しない場合、剛体の運動を記述するオイラー方程式は、
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で与えられる。 但し、座標原点は剛体の固定点もしくは、剛体の重心位置とし、各座標は慣性主軸方向に一致させるものとする。 ここで、定数I1、I2、I3 は(主慣性モーメント)である。
オイラーのコマでは、運動エネルギーE と全角運動量の大きさL2が系の保存量となる。
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運動エネルギーE と全角運動量の大きさL2を指定することで定まる等エネルギー面と等角運動量面は、(ω1, ω2, ω3)空間における2つの楕円面を成しており、運動の軌道はそれらの交わりによって定められる曲線となる。
一般解 オイラーのコマは可積分な系の一つであり、その解は楕円関数で記述できる[1]。
- I1<I2<I3の場合
慣性モーメントにI1<I2<I3 の関係が成り立つとき、運動の解はヤコビの楕円関数を用いて、
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と表される。ここで、λは
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で与えられる定数であり、時間tはt=0でω2=0となるように取り直している。
これらは次の周期T を持つ周期運動である。
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但し、K=K(k)は第一種(完全楕円積分)である。
- I1=I2<I3の場合
慣性モーメントにI1=I2<I3 の関係が成り立つとき、運動の解は
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となる。
脚注 - ^ L.D. Landau and E.M. Lifshitz (1969), chapter.VI
参考文献 - H. Goldstein,C. Poole and J. Safko, Classical Mechanics; 瀬川富士、矢野忠、江沢康生 (翻訳)『古典力学〈上〉 (物理学叢書)』吉岡書店 (2006) (ISBN 978-4842703367)
- L.D. Landau and E.M. Lifshitz, Mechanics (Volume 1 of A Course of Theoretical Physics ), Pergamon Press 1969; 広重徹、水戸巌 (翻訳)『力学 (増訂第3版) ランダウ=リフシッツ理論物理学教程』東京図書 (1986) (ISBN 978-4489011603)
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