エタール射

エタール射（エタールしゃ、étale morphism）とは、数学において(有限型スキーム)間の平坦かつ不分岐な射のこと。「étale」という形容詞は複素解析幾何学（géométrie analytique complexe）における古典的な概念「domaine étalé」から採られた^[1]。

不分岐

${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ を体 k 上の有限型(スキーム間の射)とする。X の任意の点 x と Y の点 y=f(x) にたいして、

• ${\displaystyle m_{y}.O_{X,x}=m_{x}}$ 

• k(x) が k(y) の分離代数拡大。

が成り立つこと。ただし、${\displaystyle O_{X,x}}$  は x での局所環、${\displaystyle m_{x}}$  および k(x) はその極大イデアルおよび剰余体である。

平坦

可換環論における平坦性の概念は前提とする。上記の記号を流用し

F を ${\displaystyle O_{Y}}$  (加群層)とする。F が Y 上平坦とは、任意のxに対し ${\displaystyle F_{y}}$  が平坦 ${\displaystyle O_{Y,y}}$  加群になることをいう。F として ${\displaystyle O_{X}}$  をとって X の Y 上の平坦性が定義される。

同値な定義

類体論と不分岐の対応

脚注

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注釈

出典

1. ^ Illusie, Luc (2014), “Grothendieck et la cohomologie étale” (PDF), Alexandre Grothendieck: A Mathematical Portrait, p. 2, https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~illusie/Grothendieck_etale.pdf 

関連項目

• 平坦性
• スキーム
• エタール・コホモロジー