素因数 (そいんすう、英 : prime factor )とは、数学 における自然数 の約数 になる素数 のことである。ある数の素因数を求めてその積の形で表すことを素因数分解 という。例えば 60 は 22 ×3×5 と素因数分解されるので 60 の相異なる素因数は 2, 3, 5 の3つである。また 7 は素数であるため、7 の素因数は 7 自身のみとなる。素因数のことを素因子 (そいんし)、素因数分解のことを素因子分解ということもある。
2つの自然数が互いに素 であることと、2つの自然数が共通の素因数を持たないことは同値 である。なお 1 は素因数を持たない数であり、したがって 1 は全ての(1 自身を含めた)自然数と互いに素である。
自然数の素因数分解の結果は、素因数を掛ける順番の違いを除けば一意的に決まる。この事実は算術の基本定理 と呼ばれている。
素因数の個数 自然数 n の相異なる素因数の個数 を与える関数 を ω (n ) と表記し、n の重複も含めた素因数の総数 を与える関数を Ω(n ) と表記する。n が
n = ∏ i = 1 k p i α i = p 1 α 1 p 2 α 2 ⋯ p k α k {\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\dotsm p_{k}^{\alpha _{k}}} (ただし p 1 , p 2 , ..., p k は相異なる素数、α 1 , ..., α k は 1 以上の整数) と素因数分解されるとき、
ω ( n ) = k , {\displaystyle \omega (n)=k,} Ω ( n ) = ∑ i = 1 k α i = α 1 + ⋯ + α k {\displaystyle \Omega (n)=\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}=\alpha _{1}+\dotsb +\alpha _{k}} である。例えば、60 = 22 ・3・5 であるから、ω (60) = 3 , Ω(60) = 2 + 1 + 1 = 4 である。
素因数は 2 以上であるから
Ω ( n ) ≤ log n / log 2 {\displaystyle \Omega (n)\leq \log n/\log 2} が任意の n に対して成り立ち、等号はちょうど n が2の冪乗 であるときに成り立つ。
また、ω (n ) の増加の割合は以下の式で表される。
lim sup n → ∞ ω ( n ) log log n log n = 1. {\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\omega (n)\log \log n}{\log n}}=1.} より厳密には、以下の式が成り立つ。
ω ( n ) ≤ 1.38402 log n log log n ( n ≥ 3 ) , ω ( n ) ≤ log n log log n + 1.45743 log n ( log log n ) 2 ( n ≥ 3 ) , ω ( n ) ≤ log n log log n − 1.1714 ( n ≥ 26 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\omega (n)&\leq 1.38402\,{\frac {\log n}{\log \log n}}&(n\geq 3),\\\omega (n)&\leq {\frac {\log n}{\log \log n}}+1.45743\,{\frac {\log n}{(\log \log n)^{2}}}&(n\geq 3),\\\omega (n)&\leq {\frac {\log n}{\log \log n-1.1714}}&(n\geq 26).\end{aligned}}} 自然数における具体的な ω(n ) の値についてはオンライン整数列大辞典 の数列 (A001221 )を、 Ω(n ) の値はオンライン整数列大辞典 の数列 (A001222 )を参照。
最大素因数 最大素因数(さいだいそいんすう、英: largest prime factor)とは、その数における最大の素因数になる素数のことである。その数が素数の場合はその数自身が最大素因数となる。
数 最大素因数(OEIS ) 数 最大素因数 (OEIS ) フィボナッチ数 (A060385 ) 三角数 (A069902 ) n !−1 (A002582 ) n !+1 (A002583 ) 2n −1 (A005420 ) 2n +1 (A002587 ) 3n −1 (A074477 ) 3n +1 (A074476 ) 5n −1 (A074479 ) 5n +1 (A074478 ) 7n −1 (A074249 ) 7n +1 (A227575 ) 11n −1 (A274910 ) 11n +1 (A062308 )
最小素因数 最小素因数(さいしょうそいんすう、英: smallest prime factor)とは、その数における最小の素因数になる素数のことである。その数が素数の場合はその数自身が最小素因数となる。
数 最小素因数(OEIS ) 数 最小素因数 (OEIS ) フィボナッチ数 (A060383 ) 三角数 (A069901 ) n !−1 (A054415 ) n !+1 (A051301 ) 2n −1 (A049479 ) 2n +1 (A002586 )
関連する数 スミス数 とは、合成数であって、その素因数の数字の和と各桁の数字の和が等しい数のことである。 ルース=アーロン・ペア とは、連続する自然数の組であって、それぞれの素因数の和が互いに等しくなる2つの数の組のことである。2以上の自然数における素因数の和は 2, 3, 2, 5, 5, 7, 2, 3, 7, … である。(オンライン整数列大辞典 の数列 (A008472 )) 2以上の自然数における素因数の積は 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, … である。(オンライン整数列大辞典 の数列 (A007947 ))
脚注
参考文献 Robin, Guy (1983). “Estimation de la fonction de Tchebychef θ sur le k -ième nombre premier et grandes valeurs de la fonction ω (n ) nombre de diviseurs premiers de n ”. Acta Arith. 42 : 367–389.
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